Nous continuons la publication de divers articles concernant l’histoire de l’enseignement des mathématiques. Histoire de l’enseignement, enseignement par l’histoire : le couple « histoire – enseignement » est indissociable car les mathématiques se sont constituées dans leur forme actuelle autant par les découvreurs–inventeurs que par les professeurs. Souvent les premiers ont endossé l’habit des seconds pour diffuser leurs idées nouvelles, mais il serait faux de penser que la première formulation d’une invention, fût-elle géniale, est la plus simple, la plus accessible, et que le détour par son histoire donnerait d’emblée la meilleure façon pour l’enseigner. Jean Dhombres nous fait part de quelques « Réflexions intempestives sur l’enseignement et l’histoire  » et nous invite « à toujours discuter l’avantage prévisible du biais historique dans l’enseignement ; à l’enseignant, compte tenu de son expérience, de mesurer l’avantage réel pour les élèves. L’histoire ne saurait lui imposer ses méthodes. L’histoire enrichit sa réflexion. » Et il nous en fait la démonstration à partir de deux exemples relatifs à un concept qui prendra plus d’un siècle avant de se stabiliser dans sa compréhension et sa définition actuelle : le concept de fonction, et plus précisément celui de composition des fonctions.

Aujourd’hui central dans l’enseignement des mathématiques à tous les niveaux, le concept de fonction était totalement absent de l’enseignement secondaire jusqu’à la fin du 19^e siècle. Celui-ci restait marqué par diverses traditions où l’enseignement pratique dominait, autour des deux disciplines reines : la géométrie et l’arithmétique.
Mais tradition ne signifie pas enseignement coupé des réalités actuelles. Frédéric Métin, avec l’évocation de l’enseignement de la fortification par les Jésuites aux 17^e et 18^e siècles, nous fait comprendre qu’un apprentissage de techniques de construction, même anciennes et utilisant la géométrie, peut donner lieu à des activités à la fois agréables et instructives, avec l’avantage de relier le cours de mathématiques à quelques hauts lieux du patrimoine des villes actuelles.

Par «  La règle des alliages et des mélanges  », Pierre Collaudin fait revivre des algorithmes qui ont traversé des siècles d’enseignement pratique, dont l’efficacité a quelquefois été trop vite supplantée dans l’enseignement actuel par une algèbre plus difficile et souvent trop abstraite pour nos élèves de collège : « l’importance croissante d’une dimension expérimentale dans l’enseignement des mathématiques laisse penser que ces anciennes méthodes pourraient encore avoir un avenir  ». À tout le moins elles nous permettent de tester nos méthodes actuelles et de réfléchir à leur pertinence.