DGESCO, février 2012 (seconde édition)

Ce document de 70 pages en 21 × 29,7 est téléchargeable sur :
http://media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/11/5/LyceeGT_ressources_Math_T_proba-stat_207115.pdf

Ce document ressource pour la partie du nouveau programme de terminale scientifique consacrée à l’inférence statistique se propose de donner au professeur à la fois un support théorique et de nombreux exemples lui permettant de construire son propre cours.

Il s’articule en six chapitres et six annexes :

Chapitres :

• I. Variable centrée réduite : Comment et pourquoi centrer et réduire ?
• II. La loi normale centrée réduite : Le théorème de Moivre-Laplace, la loi normale centrée réduite, son espérance.
• III. Lois normales : Généralités et exemples.
• IV. Intervalles de fluctuation : Cas binomial ; recherche à l’aide d’un algorithme ; intervalle de fluctuation asymptotique ; intervalle simplifié. Exemples : prise de décision ; surréservation ; échantillon représentatif d’une population pour un sondage.
• V. Intervalle de confiance : Introduction ; principe général ; définition ; intervalles de fluctuation ou intervalles de confiance : lequel utiliser ? Longueur de l’intervalle de fluctuation et conséquence pour l’intervalle de confiance ; taille minimum de l’échantillon pour une précision donnée. Applications.
• VI. Compléments sur les lois uniforme et exponentielle.
• Annexes :
  • 1. Introduction au théorème de Moivre-Laplace (de Bernoulli à Laplace).
  • 2. Compléments sur les lois normales.
  • 3. Approche simplifiée de la théorie des sondages (échantillonnages non aléatoires, échantillonnages probabilistes).
  • 4. Utilisation des Tice
    • A. Tableau des fichiers du document :
      (Animations GeoGebra ; algorithme -programme Algobox ; Fonction en R ; simulation tableur).
    • B. Quelques exemples commentés pour démarrer avec R (installation, mise en route ; quelques exemples simples commentés).
  • 5. Méthodes de Monte-Carlo.
    • A. Méthode du rejet.
    • B.méthode de l’espérance.
  • 6. Comparaison de deux fréquences et différences significatives.
    • A. Une situation très fréquente en sciences expérimentales et en économie.
    • B. Comparaison de deux fréquences.
    • C. Intersection de deux intervalles de confiance.

Ce qui frappe d’emblée le lecteur, c’est la variété des exemples traités en détail de problèmes dont la solution repose sur l’utilisation de méthodes et d’outils statistiques :

• Sélection chez les vaches française de race FFPN.
• Emmanchement d’une poulie sur l’axe d’une pompe de direction.
• Masse d’alerte pour des micro-plaquettes de beurre.
• Contenu des bouteilles d’une brasserie.
• Durée de vie d’un appareil.
• Pourcentage d’enfants asthmatiques.
• Sur-réservation aérienne.
• Échantillon représentatif d’une population pour un sondage.
• Nombre de prématurés et pénibilité du travail de la mère.
• Prévalence du sur-poids dans une ville.
• Sondage politique précédant le premier tour d’une élection présidentielle.
• Diagnostic de la jaunisse.
• Dépistage de la bronchiolite.
• Taux de germination de semences de tomates.
• Heures de passage d’un bus.
• Café matinal.
• Horaire d’une rencontre.
• Prévalence d’une maladie.
• Difficultés scolaires.
• Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure.
• Séro-prévalence du chikungunya à Mayotte,

Mais aussi les développements historiques sur la démarche de Bernoulli, Moivre et Laplace vers le théorème-central limite (il aurait été intéressant de donner quelques éléments de l’histoire mouvementée de l’inférence statistique, mais ceci sera fait dans un article du n° 502 du Bulletin) et l’approche de problèmes d’analyse :

• effet graphique du centrage et de la réduction,
• aire sous une courbe, espérance et variance, et intégrale,
• intégration par parties,
• fonction de répartition et quantiles,
• manipulations sur les intervalles de fluctuation et de confiance.

Malheureusement le texte comporte quelques coquilles ou inexactitudes :
Page 5, ligne 2, le mot indépendantes peut, dans le contexte, prêter à confusion ; il aurait été préférable d’écrire : qui ne dépendent pas.
figure 2, la valeur de p(0,4) n’est pas précisée.
Page 6, figure 3, la courbe des bords des rectangles est symétrique parce que p = 1/2 ; il aurait été bon de donner un exemple où p est voisin de 0 ou de 1 et de signaler le paradoxe que malgré la forte dissymétrie dans ce cas de la loi binomiale centrée normée celle-ci converge vers une loi symétrique.
Page 8, figure 4, préciser les unités.
Page 11, note 6, avec cette définition, il n’y a pas de médiane si P(X < m) saute la valeur 0,5.
Page 14, exemple 3 : la figure montre clairement que la cote s’écarte de plus en plus de l’espérance ; le modèle n’en tient pas compte.
Page 18, Intervalle de fluctuation, A. cas binomial La discussion sur la comparaison des intervalles est essentielle à la fois pour bien comprendre la démarche statistique et pour la formation à l’analyse et à la topologie de R ; ce paragraphe aurait mérité de plus longs développements.
Page 42 ligne 15, la probabilité que X prenne la valeur x est nulle : il faut écrire : f(x) dx est la probabilité que X soit compris entre x et x + dx.
Page 42 Figure 16, préciser que n = 13.
Page 43,
2. Partie A, La probabilité qu’Olivier arrive à un instant donné est nulle C’est la probabilité d’arriver dans tout intervalle de longueur l qui est la même.
2, Partie B, Préciser que les instants d’arrivée sont indépendants (il est vrai que, comme le document le précise p. 51, la notion de variables aléatoires indépendantes n’est malheureusement pas au programme).

Tel qu’il est ce document qui est, malgré les difficultés du sujet, clair, aéré et illuminé par de nombreux exemples et par des animations et des logiciels variés, rendra de grands services aux enseignants, un peu déboussolés aujourd’hui, s’ils l’utilisent, non comme un manuel, mais comme un ensemble de ressources disponibles, soit pour éclairer un point obscur, soit pour placer les élèves en situation de recherche, soit encore pour travailler en classe avec un collègue d’une discipline technologique ou expérimentale susceptible de fournir des données ou des problèmes effectifs.