par B.M. Makarov, M.G. Goluzina, A.A.Lodkin, A.N. Podkorytov
traduit du russe par Éric Kouris

Cassini 2010
616 pages en 15 — 22,5, prix : 38 €, ISBN : 978-2-84225-124-6

Après quatre préfaces (à l’édition française, du traducteur, des deux éditions russes) et une liste des notations, on trouve dans ce livre 932 énoncés, répartis en dix chapitres (64 à 174 problèmes par chapitre), chacun étant divisé en deux à six rubriques, et intitulés :

• I. Problèmes introductifs.
• II. Suites.
• III. Fonctions.
• IV. Séries.
• V. Intégrales.
• VI. Développements asymptotiques.
• VII. Fonctions (suite).
• VIII.Mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue.
• IX. Suites de fonctions mesurables.
• X. Itérations de transformations d’un intervalle.

Cette première partie occupe moins de 200 pages, c’est dire que les énoncés sont courts : parfois deux ou trois lignes. Une deuxième partie, de 370 pages, est intitulée « Indications et solutions », puis viennent les « Réponses » (10 pages), bibliographie (6 pages), table des renvois, index.

La quatrième de couverture dit que les auteurs « ont la chance de bénéficier à l’université de Saint-Petersbourg à la fois d’étudiants d’excellent niveau et d’une grande liberté dans le choix de leurs sujets », et la préface à la première édition affirme que ce recueil « se distingue (…) par la plus grande difficulté des problèmes » et qu’il est « destiné avant tout aux étudiants désirant approfondir leur connaissance de l’analyse et aux enseignants conduisant des séminaires ». Ces affirmations se vérifient parfaitement à la lecture : ici, aucune application directe du cours, aucun exercice élémentaire ; mais des questions originales, toujours ouvertes du point de vue de la méthode, et dans près de 50% des cas ouvertes aussi en ce qui concerne le résultat ; franchement tournées vers l’inventivité, la prise d’initiative ; un exemple (III.1.25) : « Existe-t-il une fonction continue sur [0, 1] telle que tous les ensembles où elle est constante soient dénombrables ? ». Les problèmes se renvoient fréquemment l’un à l’autre ; souvent une série est précédée d’un complément de cours (par exemple, définition de l’ensemble de Cantor et de ses généralisations, de la dérivée de Schwarz, ...). Quelques uns sont des démonstrations de résultats classiques (irrationalité de $\pi$, …) ; d’autres introduisent des notions peu connues (fonctions et suites presque périodiques…) ; quelques uns font intervenir les complexes ; beaucoup présentent des résultats surprenants, intrigants, voire humoristiques (l’écorce de la pastèque en dimension 100…) ; beaucoup recoupent des domaines mathématiques différents : arithmétique et séries, probabilités et intégrales, géométrie et optimisation, … Le raisonnement et les calculs ont chacun leur juste place. Les niveaux visés sont L2-L3 ou CPGE pour les chapitres I à VII, mais les trois derniers exigent une bonne connaissance de la théorie de la mesure, des intégrales de Lebesgue et autres pré-requis. Beaucoup de ces problèmes sont utilisables en tant qu’exercices originaux à l’oral de l’agrégation.

La deuxième partie contient, pour chaque problème, le plus souvent de simples indications de méthode (cinq lignes pour l’exemple III.1.25 ci-dessus), mais parfois des solutions assez complètes, sans toutefois entrer dans le détail des calculs ; les Réponses sont très succinctes (pour l’exemple cité : « oui. »).

De temps à autre on rencontre, surtout en début de chapitre mais pas seulement, un problème plus abordable ; il n’a alors en général ni Indication, ni Réponse.

Je vois au moins quatre façons de se servir de ce livre : rechercher directement le problème (toujours commencer par là, mais l’aboutissement sera souvent réservé aux étudiants de haut niveau) ; si le sujet n’est pas du type « démontrer que… », consulter la réponse mais pas les indications (ainsi « on sait où on va ») ; au contraire, suivre la méthode suggérée par les indications pour rechercher la réponse ; enfin, consulter indication et réponse, et s’efforcer de rédiger une solution complète et détaillée ; même dans ce cas, la recherche sera souvent longue !

Grâce à cette somme colossale, à laquelle on pardonnera quelques légères et rares ambiguïtés dans les énoncés ou définitions, plus d’un étudiant travaillera ainsi efficacement pendant bien des heures, développant son savoir, ses savoir-faire et sa créativité mathématiques. Mais débutants et paresseux s’abstenir.