Journée 2008 : Mathématique et musique

Textes de Franck Jedrzejewski, Thomas Noll, François Nicolas

146 pages, ISBN : 978-2-85629-246-4

Depuis Pythagore, la musique est longtemps restée sous la tutelle de l’arithmétique. Elle continue d’entretenir des rapports étroits avec les mathématiques, et la rencontre musique contemporaine/mathématique contemporaine n’a fait qu’élargir et diversifier les champs de contact.

Ce fascicule dresse un état des lieux des recherches actuelles dans ce domaine, en trois textes ; les deux premiers sont de mathématiciens qui connaissent la musique, le dernier d’un musicien qui connaît la mathématique :

• Structures algébriques et topologiques de l’objet musical
  par Franck Jedrzejewski
  est un vaste panorama des notions et domaines mathématiques utilisés, voire créés, pour construire des théories mathématiques de la musique.
  Il est divisé en sept chapitres :

1. Introduction,
2. Pavages et topologies,
3. Tempéraments et distances musicales,
4. Classification des formaires,
5. Ensembles à transpositions limitées,
6. Nœuds dodécaphoniques,
7. Permutations et isographies.

Outre celles mentionnées dans ces titres, interviennent des notions classiques : matrice, groupe (cyclique, cristallographique, de symétrie, …), congruence, plan projectif, logarithmes (de base 2 ou autre), relation d’équivalence, dénombrement, vecteur (en dimension n), graphe, transformée de Fourier, … et d’autres plus spécifiques : plan de Fano, triplets de Steiner, ensembles de Forte, …

Ces outils sont mis à la disposition des musicologues pour analyser les œuvres, et des compositeurs pour les construire.

Optant pour une généralisation maximale, l’auteur va au-delà de la division de l’octave en douze demi-tons, et raisonne sur une gamme à n degrés, faisant des séries dodécaphoniques un simple cas particulier ; il applique ses outils mathématiques aussi bien à l’harmonie (dimension « verticale ») qu’aux rythmes et mélodies (dimension « horizontale »)

Le texte inclut des apports historiques : opposition entre les disciples de Pythagore et ceux d’Aristoxène, divers essais de tempérament, échange épistolaire entre Euler et Rameau, … Il est riche de nombreuses références bibliographiques, où l’on trouvera les démonstrations des nombreux théorèmes cités, et où figure en bonne place la brochure APMEP Musique et Mathématique de Bernard Parszyz. (Brochure no 53, 1983, à télécharger à l’adresse http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Math_et_musique.pdf).

• Sturmian sequences and morphisms – A music-theoretical application,
  par Thomas Noll
  est un article beaucoup plus court, mais à caractère également théorique. Son objet d’étude est plus ciblé : les gammes diatoniques, les différents modes qui s’en déduisent, les échelles et modes « bien formés » ; avec généralisation à une échelle diatonique à d degrés choisis parmi les c degrés d’une gamme chromatique. Ici aussi on rencontre un vocabulaire mathématique général (automorphisme, …) ou spécialisé (morphisme de Sturmian).
  Il est divisé en quatre parties :

1. Unserchable Diatonic Scale,
2. Well-Formed Modes,
3. Sturmian Morphisms,
4. Pitch Height and Beyond.

• Pour des rapports d’un type nouveau entre mathématiques et musique, en germe dans l’échange Euler/Rameau de 1752
  par François Nicolas
  apporte le point de vue d’un compositeur contemporain, partie prenante de l’école mamuphi (pour : mathématique, musique, philosophie ; émanation conjointe de l’IRCAM et de l’ÉNS). Ce texte est en deux parties :

1. Le moment Euler-Rameau,
2. Notre moment mamuphi.

La première est essentiellement historique ; elle analyse, longues citations à l’appui, les convergences et divergences entre le mathématicien et le musicien (non sans un oeil critique sur certaines bizarreries comme le « degré de suavité » d’Euler). La deuxième prône « une manière proprement musicienne de théoriser la musique avec les mathématiques », avec pour emblème la notion de « raisonance  » (soit : résonance entre raisons musicale et mathématique).

La lecture de cet ouvrage est exigeante ; entrer dans les détails des exposés suppose une solide connaissance de plusieurs domaines mathématiques plus ou moins « pointus » (jusqu’à des concepts créés par Alexandre Grothendieck), ainsi que des savoirs musicaux non rudimentaires. Il faut, pour affronter ces pages, n’être effarouché ni par des formules et notations mathématiques foisonnantes, ni par des extraits de partitions musicales complexes.

Le texte le plus abordable est le troisième, qui, je pense, peut se lire en premier. Le deuxième, au contenu peut-être plus simple que celui de Jedrzejewski, a l’inconvénient d’être en anglais. Mais si on surmonte ces difficultés, on découvrira la puissance du langage mathématique pour parler du monde musical, les apports potentiels de notre discipline à l’art de la composition, et en retour, des passerelles non évidentes entre des domaines mathématiques éloignés.

Journée 2011 : Qu’est-ce qu’un nombre au hasard ?

par Laurent Bienvenu, Benoît Rittaud et David Xiao

70 pages, ISBN 978-2-85629-320-1

Le développement de l’enseignement du calcul des probabilités dans les collèges et les lycées s’est accompagné de simulations utilisant une touche ou une fonction random ou aléa censée réaliser des tirages indépendants de variables uniformément distribuées. Mais en fait on est mal informé sur ce Tout se passe comme si, d’autant plus que la calculette ou l’ordinateur produisent ces titrages très simplement et rapidement, alors que pour assurer l’indépendance, il faut maximiser la complexité.

Cette brochure réunit sur cette intrigante question les trois exposés donnés les 17 et 18 juin 2011.

• L’exposé de Laurent Bienvenu
  Qu’est-ce qu’un nombre aléatoire ? Hasard et calculabilité,
  est divisé en trois parties :

1. Une théorie algorithmique du hasard
   Hasard et incompressibilité, complexité de Kolmogorov.
2. Suites infinies aléatoires
   Théorème de Levin et Schnorr, imprédictibilité, le nombre W de Chaitin.
3. Un bref aperçu de la recherche récente
   Notions fortes et faibles d’aléatoire, suites anti-aléatoires, liens avec l’analyse calculable.

• Celui de Benoît Rittaud
  De la « Grande Année » aux suites de Kronecker
  est consacré à la Grande Année, temps hypothétique mis par les planètes à revenir à une même position apparente, et à l’étude des suites de parties fractionnaires de $n\alpha$ où $\alpha$ est un réel donné.

1. Nicole Oresme.
2. Suites de Kronecker.
3. L’équirépartition.
4. La loi des premiers chiffres (Newcomb, Benford).
5. Une Grande Année approchée.
6. Vitesse de répartition.
7. Avec plusieurs astres.
8. Normalité et équirépartition.

• Dans le troisième Le pseudo-aléa : objets et génération
  David Xiao donne plusieurs exemples d’objets pseudo-aléatoires :

1. Introduction
   Pseudo-aléa et informatique, pseudo-aléa et mathématiques.
2. Préliminaires
   Borne de Chernoff, borne d’Erdös.
3. Les graphes expandeurs
   Définition, constructions, applications.
4. Les extracteurs d’aléa
   Définition, construction, applications.
5. Les générateurs pseudo-aléatoires
   La dérandomisation.
6. Les codes correcteurs d’erreurs
   Définition et existence, construction explicite.
7. Le principe de transfert
   Application : le théorème de Green-Tao.
8. Conclusion
   Relations entre les objets pseudo-aléatoires, développements récents, questions ouvertes, conseils de lecture.

Les trois exposés se complètent parfaitement et détaillent les réponses apportées depuis une centaine d’années à la question posée dans le titre. Beaucoup de conjectures, comme par exemple la normalité de $\pi $ ou de $e$, ne sont pas encore résolues et motivent de multiples recherches.

Leur lecture éclairera tous les professeurs et les élèves dès la fin du collège jusqu’en classe préparatoire ou licence qui réalisent des simulations pour introduire ou illustrer un cours de probabilités.

Journée 2013 : 200 ans après Lagrange

Textes de Jacques Féjoz et Sylvia Serfaty

48 pages, ISBN : 978-2-85629-368-3

Sans introduction ni avant-propos, l’ouvrage réunit deux textes :

• Le problème de la stabilité du système solaire de Lagrange à nos jours
  par Jacques Féjoz
  Dans la théorie de Newton, si l’on tient compte des petites attractions, entre planètes ou entre Soleil et Lune par exemple, la stabilité n’est plus certaine, on ne peut exclure la possibilité de collisions ou d’éjections. Des discordances entre calculs et observations, au XVIIIème siècle, entretiennent le suspense. Lagrange et Laplace démontrent deux théorèmes de stabilité. À cette occasion, Lagrange pose les fondements des géométries différentielle et symplectique, il clarifie et perfectionne la méthode de variation de la constante. Mais, au siècle suivant, Poincaré remet en cause ses conclusions, pour des questions de convergence incertaine de séries. Au XX^e siècle, la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), invalide les arguments de Poincaré, mais à l’époque actuelle, la probabilité de stabilité à très long terme est considérée comme très faible : le Système solaire interne est chaotique. J. Féjoz nous relate ces avancées historiques, avec à l’appui équations, calculs, schémas et nombreux renvois bibliographiques, sans oublier les interprétations intuitives des résultats. Son exposé est divisé en six parties :

1. Le système planétaire,
2. La variation de la constante,
3. Les deux théorèmes de stabilité de Lagrange et Laplace,
4. Les premiers signes d’instabilité,
5. Les théorèmes d’Arnold et de Nekhoroshev,
6. Instabilité globale.

• Lagrange et le calcul des variations
  par Sylvia Serfaty
  ce texte est en trois parties :

1. Repères biographiques
   Lagrange, francoitalien, vécut à Berlin, avant d’acquérir célébrité et notoriété à Paris.
2. Le calcul des variations
   outil fondamental pour les problèmes d’optimisation, avec applications en géométrie, physique, économie, ingénierie. Son centre est l’équation d’Euler-Lagrange. Dans Mécanique analytique (1788), Lagrange le construit en évitant tout recours à l’intuition géométrique, voulant « réduire la mécanique à une branche de l’analyse ». S. Serfaty nous présente dans ses détails ce nouveau type de calcul différentiel, qui porte sur les fonctions de fonctions, et reste d’utilisation constante de nos jours.
3. Les prolongements
   Legendre, Jacobi, Hilbert comblent des lacunes dans la rigueur des preuves de Lagrange ; Hamilton assure la transition entre mécanique lagrangienne et mécanique quantique ; les liens théoriques et pratiques entre l’équation d’Euler-Lagrange et les équations aux dérivées partielles sont mis en évidence.

La conjonction de ces deux textes est une excellente introduction à la pensée et à l’œuvre d’un mathématicien des plus importants.

Leur lecture, sans être facile, est à la portée de qui n’a pas tout oublié des définitions et notations de niveau licence.

Signalons cependant qu’une malencontreuse coquille peut gêner l’entrée dans la théorie : à la page 3, ligne 20, il faut lire $[x_{j }= x_{k}] $, et non $[x_{k} = x_{k}] $.