par Jean Dhombres et Carlos Alvarez

Hermann, 2013
476 pages en 17 × 24, prix : 36 €, ISBN : 978-2-7056-8317-7

Cette suite de Une histoire de l’imaginaire mathématique - Vers le théorème fondamental de l’algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795, (mêmes auteurs, même éditeur, recensé dans le BV 502, page 120) relate les divers avatars du « théorème fondamental » tout au long du XIX^e siècle. Dans cet épisode de la saga, les vedettes sont Gauss, Argand, Cauchy, Liouville ; d’autres rôles importants sont tenus par Lagrange, Legendre, Laplace, Lacroix, Encontre, Bolzano, Darboux, …

En dépit de la chronologie, les structures algébriques, héritage de Galois, sont reportées au futur tome 3, de même que le regard ensembliste de Cantor.

Les lignes directrices sont multiples : démêler les arguments purement algébriques des interventions de l’analyse et de la topologie, incontournables à travers la notion de continuité ; étudier les filiations entre les différentes approches ; montrer que la recherche autour du Théorème fondamental contribue aux progrès de la connaissance mathématique (construction de l’Analyse, représentation géométrique des complexes et ébauche du calcul vectoriel par Argand, …) ; montrer que le souci pédagogique (rédaction de manuels) a permis la rédaction de démonstrations de plus en plus simples ; relativiser, en l’historicisant, la notion de rigueur.

La structure de l’ouvrage est :

• Introduction
• Énoncés historiques du théorème fondamental de l’algèbre, 1795-1895 (30 énoncés)
• Mise en scène : un théorème qui devient abordable dans l’enseignement (1795-1815)
• Première partie : L’intervention de l’analyse (3 chapitres)
• Deuxième partie : Le théorème fondamental recueille des inventions (3 chapitres)
• Dictionnaire bibliographique (91 entrées, beaucoup de portraits)
• Bibliographie (24 pages), Index.

Presque tous les chapitres sont complétés, en annexe ou dans le corps du texte, par des fac-simile de textes originaux ou de leur traduction.

La lecture de ce monument d’érudition est enrichissante à plus d’un titre : sur le plan historique bien sûr, il devrait devenir rapidement une référence ; sur le plan strictement mathématique, c’est l’occasion pour les enseignants du secondaire de revoir (ou découvrir) plus d’une notion qu’ils ne pratiquent guère ; la confrontation des textes originaux avec les paraphrases, commentaires, mises en langage moderne par J. Dhombres et C. Alvarez est une aide précieuse à leur compréhension ; et on trouve aussi ici une source de réflexion à propos de la relativité de la notion de rigueur (Darboux, le premier, détecte après 50 ans l’erreur de Cauchy qui considérait, en 1821, qu’une fonction bornée atteint forcément son minimum), de l’évolution dans le temps des notations et définitions (tous les auteurs écrivent « la fonction f(x) », là où nous exigeons de nos élèves « la fonction f  »).

Les défauts sont infimes : manque de netteté des fac-simile ; absence de certains des textes originaux qui sont commentés ; quelques coquilles sans importance. Les quelques critiques que j’ai émises quant au tome 1 me semblent ici moins nécessaires.

En résumé, ce livre est une contribution essentielle à la culture historico-mathématique, et j’attends avec impatience la parution du tome 3.