THÈME :

(Séries S et STI)

ÉNONCÉ

Couleurs et Polygone

On considère un polygone régulier convexe à 1 000 sommets, chacun étant coloré
soit en rouge, soit en vert, soit en bleu. Une opération consiste à choisir deux
sommets consécutifs n’ayant pas la même couleur et à les recolorer en attribuant
à chacun la troisième couleur.

1- Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre
fini d’opérations successives, il est possible de se ramener à une coloration
des 1 000 sommets qui n’utilise pas plus de deux couleurs.

2- Un bloc est un ensemble de quatre sommets consécutifs. Si ces quatre
sommets sont de la même couleur, on dit que le bloc est monochrome.

a. Prouver que tout bloc peut être transformé en un bloc monochrome à
l’aide d’un nombre fini d’opérations, et ce, sans modifier la couleur des
sommets qui ne sont pas dans le bloc considéré.

b. Prouver que, si deux blocs monochromes sans sommet commun sont
consécutifs, on peut échanger leurs couleurs en un nombre fini d’opérations.

c. Prouver que l’on dispose sur les blocs monochromes d’une opération
analogue à celle définie sur les sommets.

d. Prouver que, quelle que soit la coloration initiale et à l’aide d’un nombre
fini d’opérations successives, il est possible de se ramener à une coloration
des 1 000 sommets qui n’utilise qu’une seule couleur.

N.D.L.R. Remarque : Cf. exercice 2, de même nature, de Dijon.