EXERCICES

Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)

Soit $(\Delta)$ une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre
indéterminé de points $A_i$ de $(\Delta)$ tels que les cercles inscrits dans les triangles $OA_{i}A_{i+}1$
aient tous même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les
triangles $OA_{i}A_{i+k}$ ont tous même rayon $r_k$.

Michel Hébraud (Toulouse) nous avait signalé cet exercice, donné dans la rubrique
«  Les problèmes de l’APMEP » du Bulletin Vert n° 456 (janvier- février 2005) et dont
la solution n’est pas parue dans les bulletins qui ont suivi. Avec l’accord de Pierre
Duchet, nous le redonnons ici.

voir l’article où est publiée la solution
une autre solution plus simple et qui permet d’obtenir une expression en fonction du rayon initial

Exercice 478-2 (Georges Lion – Wallis)

Trouver le lieu géométrique des centres des triangles équilatéraux inscrits dans un carré.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 478-3

Exercices pour amateur (Édouard Lucas – Théorie des nombres
[tome 1] – Nouvelle édition : Blanchard 1961)

• 1) On partage la suite des nombres impairs en groupes contenant respectivement 1,
  2, 3, …, n termes. Trouver la somme des p termes du groupe de rang p. (Nicomède
  de Gérase [environ 100 ans av. J.C.])
• 2) On partage la suite des nombres impairs en groupes contenant respectivement 1, 2, 3, 4, … termes. Démontrer que la somme des termes renfermés dans les n premiers
  groupes de rang impair est égal à $n^4$.
• 3) Démontrer que la somme des $n^2$ entiers qui suivent les n premiers est le double des
  n premiers cubes.

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 475-1 (C.D. Olds. Continued fractions (1963))

1) Décomposer 433 en une somme de deux carrés.
2) Soit deux détachements de soldats, chacun de ces détachements formant un carré de b rangs de b soldats. Montrez qu’il est impossible de former avec les deux carrés un unique carré de soldats.

Montrer que, si un soldat est ajouté ou enlevé à l’un des deux carrés, il est parfois possible que les deux détachements soient regroupés en un seul carré de soldats.

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