« ALGÈBRE LINÉAIRE. COURS ET EXERCICES (corrigés). CAPES & AGRÉGATION »,.
par Henri ROUDIER
Éd. VUIBERT. Deuxième édition, « revue et augmentée ».
704 pages en 17 × 24. Présentation excellente. Abrégé des notations. Bibliographie utilisable. Bon index. Table des matières
détaillée.
ISBN : 2-7117-8966-7.

Voici un nouveau « ROUDIER », de grande qualité comme les précédents. Il sait allier à merveille l’excellence dans les théories, l’art de les lier aussi intimement que possible à des applications, le constant souci des conseils pédagogiques et des aides à la lecture (indications de prérequis, de textes que l’on peut sauter en première lecture, commentaires et éclairages variés, …).

Dans cette optique, la structure de l’ouvrage « expose le plus tôt possible le calcul et les applications. Les concepts sont donnés lorsque la pratique montre qu’il n’est plus possible de faire autrement ». De là onze premiers chapitres qui vont de la structure d’espace vectoriel et des relations linéaires aux changements de base, en explorant, au passage, le calcul matriciel, les K-algèbres, l’algorithme du pivot, la résolution des systèmes linéaires, … Suivent six chapitres d’approfondissement clos par une belle étude sur les déterminants, puis trois chapitres sur la réduction avec mise en valeur (c’est nouveau) de la notion de polynôme minimal. Les six autres chapitres ramènent à la géométrie euclidienne (l’affine n’est pas traitée : l’auteur précise qu’elle mérite mieux qu’une simple annexion dans un traité d’algèbre linéaire…) et à ses transformations-clés ainsi qu’à ses formes bilinéaires. Cela prend 558 pages, où chacun des 26 chapitres est clos par de bons exercices corrigés avec soin.
123 autres pages sont consacrées à 23 « études » particulières (n^o 7 : homothéties vectorielles ; n^o 12 : théorèmes de Cayley-Hamilton-Frobenius ; n^o 19 : champ des vitesses d’un solide en mouvement ; n^o 23 : quaternions de Hamilton).
Une POSTFACE de quatre pages est une belle méditation sur des concepts fondamentaux : penser les fonctions comme étant des vecteurs, notion de dimension (« qui s’abstrait du sensible pour le penser »), notion de linéarité, interprétations du calcul matriciel, …

Je ne résiste pas au plaisir de vous inviter à savourer quelques lignes de la « CONCLUSION »  :

• … « … l’algèbre linéaire se construit contre la géométrie : elle en prend les concepts pour les reconstruire mais dans le même mouvement elle va contre la représentation des choses que celle-ci impose. […].
  Mais elle permet d’introduire “ l’esprit de la géométrie ” là où on ne l’attend pas et donc de penser concrètement des espaces que tout a priori tenait éloignés de la géométrie… ».
• « Le calcul est absolument utile, mais rester dans le seul calcul peut devenir une source d’interprétation. À l’inverse vouloir s’attacher à une seule de ces interprétations est une erreur pratique.
  Faire des mathématiques suppose l’inverse : un objet peut en représenter un autre […]. Penser revient alors à repérer les liens tissés par ce mode de représentation. L’intelligence de l’objet suppose que l’on renonce à le représenter pour le penser. D’aucuns diront que cela est condamnable. Leur erreur est de confondre l’imaginaire et l’imagination ».