par Jacques Bair et Valérie Henry

Éd. Academia-Bruylant — Grand Place 29 — 2008
192 p. en 16 × 24, prix : 22 €, ISBN : 978-2-87209-919-1

Il y a 28 ans, le regretté Georges Reeb publiait dans le bulletin (n° 328, avril 81, p. 259-273) un article « Analyse non standard : essai de vulgarisation » où il présentait en termes élémentaires les travaux de Robinson et de Nelson et suggérait quelques conséquences possibles sur l’enseignement de l’analyse élémentaire.

Quatorze ans plus tard, ses élèves, Robert Lutz, Abdenacer Makhlouf et Etienne Meyer rédigeaient la brochure n° 106 : « Fondements pour un enseignement de l’analyse en termes d’ordre de grandeur : les réels dévoilés » et un article dans le n° 411, juillet 97 : «  Fondements pour une nouvelle pédagogie ou l’art d’enseigner la notion de limite en l’an 2000 ». Le sujet n’est donc pas neuf et, s’il a déchaîné des passions, elles sont aujourd’hui bien apaisées.

Le présent ouvrage est destiné à des étudiants entamant une licence en économie ou en gestion et présente un cours d’analyse basé sur l’Analyse Non Standard (ANS)

Le livre débute par un préambule d’approche historique : l’antiquité, les fondements au XVII°, le développement pragmatique du calcul infinitésimal au XVIII°, le développement rigoureux du calcul différentiel et intégral au XIXe, l’avènement de l’ANS au XX°, infinis actuel et potentiel.

Viennent ensuite six chapitres :

• 1. Nombres hyperréels
  extensions successives du concept de nombre, découverte de nouveaux nombres au moyen d’angles, droite numérique hyperréelle, ordres de grandeur, algèbre au sein des hyperréels, approfondissement sur les angles plans et leur mesure (angles corniculaires).
• 2. Règles fondamentales de l’ANS
  de Leibniz, sur la partie standard, d’extension, de transfert, de débordement, de finitude ; présentation formelle de la règle de transfert.
• 3. Étude de courbes planes
  comportement local et comportement asymptotique
• 4. Concepts fondamentaux du calcul différentiel
  continuité, dérivabilité et différentiabilité.
• 5. Applications du calcul différentiel
  théorèmes fondamentaux, approximations, optimisation, convexité et concavité.
• 6. Introduction au calcul intégral
  intégrale définie, liens entre dérivées et intégrales, règles de primitivation.

Chaque chapitre comporte des exercices d’application directe suivis d’indications sur la solution et un paragraphe de Lectures complémentaires, lui même divisé en deux : citations et modélisations empruntées à l’économie.

L’ouvrage s’achève par trois Présentations formelles de l’ANS : constructiviste de Robinson, axiomatique de Nelson, pédagogique de Keisler.

Une bibliographie recense de nombreux ouvrages anciens ou contemporains.
Regrettons l’absence d’index (par exemple pour retrouver ce qu’est une fonction aimable et quelques coquilles dans les calculs et formules. Les étudiants dont cet ouvrage sera à la base de la formation en analyse ne rencontreront-ils pas de difficultés si la suite de leurs études les confrontent à des cours plus classiques ?