Mathématiques élémentaires, (6 heures)

Sur les côtés d’un triangle $ABC$, pris comme diagonales, on construit, dans le plan du triangle, les carrés $CPBP’$, $AQCQ’$, $BRAR’$. Les notations sont choisies de telle sorte que les sens de parcours, marqués par l’ordre indiqué pour les sommets, correspondent au sens de rotation $ABC$.

I. On considère la figure constituée par l’ensemble des neufs points $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, $P’$, $Q’$, $R’$, et par les segments qui ont pour extrémités deux quelconques d’entre eux. Montrer qu’à chacun de ces segments on peut en associer au moins un autre qui lui soit égal ; comparer les directions des segments associés.

Montrer que les segments $QR$ et $Q’R’$ sont vus du milieu de $BC$ sous un angle droit ; que $QR’$ et $RQ’$ concourent au pied de la hauteur issue de $A$ sur $BC$ ; et que les triangles $ABC$, $PQR$, $P’Q’R’$ ont même centre de gravité.

II. On n’étudiera, dans tout ce qui suit, que des triangles $T$ $(ABC)$ auxquels correspondent trois points $P$, $Q$, $R$, alignés.

Indiquer comment on peut construire de tels triangles.

La condition imposée peut se traduire, soit par une relation $f(a^2,b^2,c^2)=0$, entre les longueurs des côtés, soit par une relation entre la surface et la somme des carrés des côtés, soit par une relation symétrique entre les cotangentes des angles du triangles. On établira ces relations.

III. a) Les sommets $B$ et $C$ étant donnés, trouver le lieu de $A$ et l’enveloppe de $Q’R’$.

b) $A$ et $P$ étant donnés, trouver les lieux de $B$, $C$, $P’$, $Q’$, $R’$, et les enveloppes de $Q’R’$.

c) $Q’$ et $R’$ étant donnés, trouver les lieux de $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, l’enveloppe de la droite $PQR$ et les enveloppes des côtés de $T$.

IV. Montrer que les nombres $a$, $b$, $c$, qui vérifient la relation $f(a^2,b^2,c^2)=0$, obtenue dans la 2\upe{} partie, ne sont jamais simultanément des nombres entiers.

On posera :

$$a^2=x,\quad b^2=y,\quad c^2=z,\quad y+z-x=2X^2,\quad z+x-y=2Y^2,\quad x+y-z=2Z^2,\quad (0\leqslant X\leqslant Y\leqslant Z)$$

Trouver la relation qui existe entre $X$, $Y$, $Z$.

Démontrer que si $x$, $y$, $z$ sont des entiers premiers entre eux dans leur ensemble, $X$, $Y$, $Z$ sont entiers et premiers entre eux deux à deux.

Déduire de là un moyen d’obtenir toutes les solutions en nombres entiers de l’équation $f(x,y,z)=0$.

Mathématiques spéciales, (7 heures)

Soit $(C)$ la courbe dont l’équation, en coordonnées polaires, est :

$$\rho=\frac{1}{\cos 3\theta+\lambda\cos \theta+\mu\sin\theta}$$

où $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres donnés.

I. Un angle droit tourne autour de son sommet placé à l’origine des coordonnées ; ses côtés rencontrent la courbe $(C)$ en deux points $(a)$ et $(a’)$. trouver l’enveloppe de la droite qui joint ces deux points.

Montrer que c’est une conique ayant pour foyer l’origine et pour directrice correspondante la droite sur laquelle se trouvent les points d’inflexion de la courbe $(C)$.

II. Quel est le lieu géométrique du point de rencontre des tangentes aux points $(a)$ et $(a’)$ à la courbe $(C)$ ?

III. La tangente en un point $(a)$ à la courbe rencontre cette courbe en un autre point $(b)$ qu’on appellera point \textitassocié du point $(a)$.

Calculer les angles polaires du pont $(b)$ connaissant un angle polaire du point $(a)$.

Former une équation qui ait pour solution les angles polaires des trois points $(a_1)$, $(a_2)$, $(a_3)$, où une droite $(A)$ rencontre la courbe $(C)$ ; en déduire une équation qui ait pour solution les angles polaires des trois points $(b_1)$, $(b_2)$, $(b_3)$ associés des points $(a_1)$, $(a_2)$, $(a_3)$. Prouver que les points $(b_1)$, $(b_2)$, $(b_3)$ sont sur une droite $(B)$.

(On pourra prendre les équations de $(A)$ et de $(B)$ sous la forme

$$\begin{array}{lll} (A) & \dfrac{1}{\rho} &= (u+\lambda)\cos\theta+(v+\mu)\sin\theta ;\\ &&\\ (B) & \dfrac{1}{\rho} &= (u’+\lambda)\cos\theta+(v’+\mu)\sin\theta.) \end{array}$$

IV. À une droite $(A)$ correspond une seule droite $(B)$. Inversement à une droite $(B)$ correspond en général quatre droites $(A_1)$, $(A_2)$, $(A_3)$, $(A_3)$ telles que $(A)$. La droite $(B)$ étant choisie de façon que deux de ces quatre droites, les droites $(A_1)$ et $(A_2)$ par exemple, soient confondues, on demande :

1° Quelle est la courbe enveloppe de la droite $(A_1)$ ou $(A_2)$ ;

2° Quelle est le courbe enveloppe de la droite $(B)$ ;

3° Quel est le lieu géométrique du point de rencontre des droites $(A_3)$ et $(A_4)$.

V. Les droites $(A_1)$, $(A_2)$, $(A_3)$, $(A_3)$ qui correspondent à une droite $(B)$ sont, dans le cas général, les côtés d’un quadrilatère.

Les cercles qui ont pour diamètres respectifs les diagonales de ce quadrilatère se coupent en deux points. Démontrer que l’un de ces deux points a une position indépendante de la droite $(B)$. trouver le lieu géométrique de l’autre quand $(B)$ tourne autour d’un point fixe.

On examinera plus particulièrement le cas où $\lambda$ est $\mu$ sont nuls.

Calcul différentiel et intégral, (7 heures)

I. Soit $D$ une droite mobile, qui engendre une surface $S$ non développable.

1° On demande la condition nécessaire et suffisante pour que, en chaque position de $D$, les tangentes aux lignes asymptotiques de $S$, passant aux différents points de $D$, forment un paraboloïde $P$. on montrera que $D$ reste parallèle à un plan fixe.

Les surfaces $S$ correspondantes constitueront la classe des surface $S_0$.

2° Conditions :

— Pour que le paraboloïde $P$ ait constamment ses deux plans directeurs rectangulaires ;
— Pour que la direction diamétrale de $P$ soit indépendante de $D$.

3° $L_1$, $L_2$, $L_3$ étant trois lignes asymptotiques quelconques d’une surface $S_0$, montrer qu’entre les torsions respectives $T_1$, $T_2$, $T_3$ de ces lignes, aux points où elles rencontrent une même génératrice $D$, existe une relation linéaire, dont les c\oe fficients ne dépendent pas de $D$.

4° Dans quel cas deux asymptotiques d’une surface $S_0$ seront-elles à torsion constante ?

5° $Oz$ étant perpendiculaire au plan directeur commun à tous les paraboloïdes $P$, on appelle $\theta$ l’angle que fait avec $Oz$ la normale à $S_0$ au point $M$ et $T$ la torsion de l’asymptotique $L$ qui passe en $M$. Le point $M_1$ étant situé sur la même génératrice $D$ que $M$ et décrivant l’asymptotique $L_1$, quand $D$ varie, soit $r_1=MM_1$. Démontrer la relation

$$r_1=\sqrt{C_1T}\sin\theta$$

$C_1$ étant indépendant de $D$.

6° Les coordonnées de $M$ étant exprimées au moyen de l’arc $s$ de $L$, on exprimera les coordonées de $M_1$ au moyen de la même variable. Soit $\omega$ l’angle de la normale principale $MK$ à $L$ et de la direction $\Delta$ perpendiculaire aux tangentes aux diverses lignes $L_1$, aux points de $D$. Démontrer la relation

$$\text{tg}\omega=\frac{1}{2}\frac{\text{d}\,T}{\text{d}\,s}$$

II. 1° En tout point $M$ d’une courbe quelconque $L$, on mène la normale principale $D$ à $L$. Soit $S$ la surface engendrée par $D$. Supposant exprimée les coordonnées de $M$ au moyen de l’arc $s$ de $L$, et désignant par $\rho$ le segment $MM_1$ de $D$, montrer que si $M_1$ décrit une asymptotique de $S$, $\rho$ s’obtient par une quadrature.

2° Effectuer la quadrature dans les cas suivants :

a) $L$ est à torsion constante ;

b) $L$ est une hélice ;

c) La courbure de $L$ est proportionnelle à une puissance invariable de sa torsion.

3° On déforme $S$ de manière que $D$ devienne normale principale $D’$ de la transformée $L’$ de $L$. On suppose que les longueurs se conservent quand on passe de chaque droite $D$ à la droite correspondante $D’$ et de la courbe $L$ à la courbe $L’$. On suppose de plus que les asymptotiques se conservent dans la déformation. Quelles sont les modifications subies par la torsion et la courbure de $L$ ?

Mécanique rationnelle (7 heures)

I. Une sphère creuse contient de l’eau qui tourne avec une vitesse angulaire constante $\omega$ autout du diamètre vertical fixe $AA’$. Cette eau maintenue à une température constante garde un volume constant $V$. Elle a atteint un état d’équilibre relatif dans son mouvement de rotation.

1° Montrer que si sa vitesse est assez grande, le fond $A$ de la sphère se trouvera à découvert ;

2° Préciser quelle doit être pour cela la valeur minimum du nombre $n$ de tours par seconde quand le rayon intérieur $R$ de la sphère mesure dix centimètre et lorsqu’en outre le rapport $\dfrac{V}{S}=\dfrac{8}{27}$, $S$ désignant la capacité de la sphère.

II. On demande d’étudier l’équilibre et le mouvement du système constitué par deux pavés reliés par un fil qui passe par un très petit anneau poli fixe, ces deux pavés restant — tout au moins dans l’intervalle de temps envisager — respectivement à plat sur deux plans inclinés fixes.

On fera, pour simplifier le problème, les suppositions suivantes :

1° Les deux plans inclinés sont limités en haut à une même droite horizontale $D$ située à une distance $h$, juste au-dessous de l’anneau $O$ ;

2° Les deux pavés sont homogènes et ont la forme de parallélépipèdes rectangles ;

3° Le fil flexible, inextensible et de masse négligeable est attaché au milieu d’une arête de chaque pavé, ce pavé ayant une hauteur égale à la distance de l’anneau au plan incliné correspondant.

On n’étudiera que les positions où la figure formée par les plans inclinés, les pavés, le fil et l’anneau est symétrique par rapport à un pan vertical $V$.

On traitera d’abord complètement le cas où les pavés et les plans inclinés sont polis.

On introduira ensuite les c\oe fficients de frottement respectifs $f$ et $F$ des pavés sur les plans inclinés.

Épure, (4 heures)

La ligne de terre $xy$ est le petit axe de la feuille, $\theta$ est le milieu. Dans un plan $(F)$ parallèle au plan vertical de projection et d’éloignement 8 cm, se trouve un triangle rectangle $(aob,a’ob’)$.

L’angle en $O$ est droit ; $\theta \alpha=2$ cm. ($\alpha$ étant le point où la ligne de rappel $oo’$ coupe $xy$ à droite de $\theta$) ; l’hypoténuse $(ab,a’b’)$ est verticale et égale à 4 cm ; $(b,b’)$ est le point le plus haut ; le milieu $(c,c’)$ de $(ab,a’b’)$ a pour cote 5 cm ; le côté $(ao,a’o’)$ a pour longueur 2 cm, et $o’$ est à droite de $a’b’$.

1° On construit la parabole $(P)$ située dans le plan de front $(F)$ et tangente en $a’$ et $b’$ aux deux côtés de l’angle droit du triangle $a’o’b’$. Cette parabole en tournant autour de son axe engendre une surface de révolution $(S)$.

2° On coupe cette surface $(S)$ par le plan $(R)$ perpendiculairement au plan vertical mené par le point $(a,a’)$ parallèlement à la droite $(ob,o’b’)$. La section plane obtenue tournant autour de la perpendiculaire au plan horizontal $(z,z’)$ d’éloignement 8 cm, projetée sur le grand axe de la feuille, engendre une surface $(\Sigma)$.

1. Construire les contours apparents des deux surfaces $(S)$ et $(\Sigma)$.

II. Construire l’intersection des deux surfaces. Représenter par ses projections :

1° sur le plan horizontal ;

2° sur le plan vertical ;

3° sur un plan de profil,

leur solide commun.

N. B. — Dans une note, on donnera sommairement l’explication de l’épure.

Calcul numérique, (4 heures)

Calculer les racines réelles de l’équation :

$$x^{12}=\frac{x^{20}+x^5+1}{3}$$

a) à 1/10 près ;

b) avec toute l’approximation que comporte l’emploi des tables de logarithmes à cinq décimales.

On indiquera la marche des opérations et on reproduira à part les calculs auxiliaires.

Ceci fait, on estimera l’erreur commise dans l’évaluation de la plus grande racine et on justifiera cette estimation.