Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)

I. On propose de déterminer un nombre, $n$, de deux chiffres, tel que si l’on intercale entre les deux chiffres $1$, $2$, ... $p$ ... zéros on obtienne des nombres $n_1$, $n_2$, ..., $n_p$, ... tous divisibles par $n$.

Examiner, pour les diverses solutions obtenues, la nature du nombre décimal illimité dont la fraction génératrice a come dénominateur $n_p$, et comme numérateur le premier chiffre (à gauche) de $n$.

Démontrer qu’il y a, en général, une infinité de nombres $n_p$ divisibles par l’un quelconque d’entre eux. — Cas d’exception

II. On donne un rectangle. Soient $A$, $B$, $C$ $D$, les projections orthogonales d’un point $M$ de son plan sur les côtés consécutifs. Les droites $AB$ et $CD$ se coupent au point $P$ ; $AD$ et $BC$ au point.

1. Démontrer que, quel que soit $M$, $P$ et $Q$ sont toujours situés sur deux droites fixes.

2. On demande comment doit être placé le point $M$ pour que les quatre cercles circonscrits aux triangles $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ soient égaux entre eux.

Cette condition étant supposée réalisée, lieux des centres des cercles inscrits et ex-inscrits au triangle $MPQ$.

Dans la même hypothèse, construire les positions du point $M$ pour lesquelles le rayon du cercle inscrit au triangle $MPQ$ a une longueur donnée $r$. Discuter, en supposant données les longueurs $2a$, $2b$ des côtés du rectangle.

Algèbre, Trigonométrie et Analyse (4 heures)

1. Étudier les variations de la fonction :

$$y=\frac{(1+x)^2}{\sqrt{1+4x^2+4x^3+x^4}}$$

Construire la courbe représentative.

Déduire des propriétés de cette courbe un changement d’axe $oy$ qui en simplifie l’équation.

2. Montrer que la fonction de $x$ :

$$z=\arcsin\frac{y}{\sqrt{2}}\quad\left(-\frac{\pi}{2}\leqslant z \leqslant +\frac{\pi}{2}\right)$$

est définie et continue pour toute valeur de $x$.

Construire la courbe représentative. Déterminer les tangentes aux points remarquables. Étudier le sens de la concavité. Calculer les rayons de courbure des arcs aboutissant aux points hauts et bas.

3. Démontrer que $z$ est développable en série entière soit suivant les puissances croissantes de $x+1$, soit suivant les puissances croissantes de $x$. Déterminer l’intervalle de convergence de chacune des séries obtenues. On donnera les quatre premiers termes de l’un et de l’autre des deux développements.

4. Calculer, avec quatre décimales, la valeur de $z$ pour $x=0,1$.

(Aucune méthode n’est imposée pour ce calcul ; les candidates pourront, à volonté, empoyer ou non les tables de ligarithmes ; on leur demande seulement de reproduire, sur la copie, totes les opérations effectuées.)

Géométrie, Géométrie analytique et Mécanique (4 heures)

Dans un plan, rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires $ox$ et $oy$, on donne la direction $\Delta$, de c\oe fficient angulaire $m$, et la circonférence $C$ ayant pour équation :

$$x^2+y^2-2ax=0$$

À un point $M$ du plan on fait correspondre celle des circonférences de centre $M$ qui passe par le point $I$ où la parallèle à $\Delta$ menée par $M$ rencontre $oy$.

1. Le lieu des points $M$ tels que la circonférence correspondante soit orthogonale à $C$ est, en général, une hyperbole $H$.

On ne considérera dans ce qui suit que des points $M$ appartenant à l’hyperbole $H$ et les circonférences $\Sigma$.

Exprimer en fonction d’un paramètre les coordonnées de $M$ et le rayon de $\Sigma$.

2. Enveloppe des circonférences $\Sigma$.

Dans quelle région du plan doit être situé $P$ pour que les circonférences $\Sigma$ passant par ce point soient réelles ?

On indiquera les résultats sur une figure où seront représentées la circonférence $C$ et l’hyperbole $H$.

3. On donne une direction $\Delta’$ définie par l’angle $(ox,\Delta’)=\alpha$. Les tangentes menées parallèlement à $\Delta’$ à une circonférence $\Sigma$ ont leurs points de contact en $M_1$ et $M_2$. Démontrer que, lorsque $\Sigma$ varie, ces points décrivent, en général, deux hyperboles $H_1$ et $H_2$.

4. Vérifier que les asymptotes de $H_1$ font entre elles un angle indépendant de $\alpha$, et que les asymptotes de $H_2$ sont perpendicualies à celle de $H_1$.

5. Enveloppe des asymptotes de $H_1$ et $H_2$ quand $\alpha$ varie.