par Maria Felicia Andriani, Silvia Dallanoce, Rossana Falcade, Serafina Foglia, Silvano Gregori, Lucia rugnietti, Achille Maffini, Carlo Marchini, Angela Rizza, Vincenza Vanucci
traduit de l’italien par Micheline Citta-Vanthemsche
préface de l’édition française par Nicolas Rouche

CREM a.s.b.l., 2009
420 p. en 17 × 24, ISBN : 978-2-930161-07-5

Cet ouvrage, abondamment illustré, en noir et en couleurs (figures géométriques, portraits de mathématiciens, documents anciens), vise à promouvoir un enseignement qui donne du sens à la notion de limite, ainsi qu’aux notions concomitantes d’incommensurabilité, de nombre réel, d’approximations successives. Il s’inscrit dans le courant du constructivisme social ; sa problématique est la transposition didactique du « savoir savant » en « savoir-élève ».

Après un avant-propos en forme d’état des lieux (enseignement de l’analyse mécanique et superficiel, basé sur les exercices de routine), et avant une imposante bibliographie et un index des noms propres, il est solidement structuré en deux parties, la première théorique, la deuxième pratique, chacune divisée en trois chapitres.

Dans la partie « Analyse du savoir en jeu », le chapitre 1 est une approche historique et épistémologique du concept de limite : d’Antiphon et Bryson jusqu’à Henri Cartan et Abraham Robinson, en passant par Euclide, Eudoxe, Archimède, Zénon, William Brouncker, Torricelli, Fermat, Leibniz, Euler, Dirichlet, Weierstrass, …, on assiste à la lente émergence d’une notion, à sa laborieuse formalisation.

En soulignant les obstacles épistémologiques à ce cheminement vers la rigueur, les auteurs pensent déjà que ces mêmes obstacles se retrouvent dans le parcours de chaque élève, et réfléchissent à des moyens de les lever. Ils insistent en particulier sur les fractions continues, qui, longtemps passées au second plan, réaffirment leur intérêt par des applications en algorithmique et dans la théorie du chaos.

Le chapitre 2 fait le point sur les connaissances actuelles sur les fractions continues, ainsi que sur l’ensemble des réels, dont on évoque plusieurs constructions et définitions axiomatiques, et sur le concept de limite.

Le chapitre 3 est consacré à la transposition didactique, ancrée dans les théories de Chevallard. Les auteurs y réaffirment vouloir « enraciner l’enseignement des mathématiques dans la réalité pour arriver ensuite à l’élaboration des concepts plus abstraits ». Pour tenter de concilier « l’infini potentiel » et « l’infini actuel », ils proposent la « métaphore de base de l’infini (BMI) », le mot « métaphore » étant pris ici dans un sens plus général que dans le langage courant.

La partie « Analyse didactique du concept de limite » se place d’emblée dans l’optique d’un lent mûrissement de la notion, depuis l’école élémentaire jusqu’à la fin du lycée. Son chapitre 1 dresse un état des lieux, à travers l’étude des programmes et des manuels, en Italie et ailleurs. Il en ressort que la France est quasiment le seul pays où la définition « définitive » (en $\epsilon$ et $\delta$) n’est plus au programme du secondaire. Les propositions du groupe belge AHA (approche heuristique de l’analyse) sont mises en avant.

Le chapitre 2 rend compte d’activités diagnostiques, avec sujets, résultats et commentaires. Souvent sous forme de questionnaires ouverts, abordant des domaines géométriques aussi bien que numériques, elles utilisent parfois les moyens informatiques (Cabri) ; elles révèlent une très générale connotation négative du mot « limite », entendu comme « empêchement, barrière » ; ainsi qu’une absence de perception dynamique des approximations en tant que suite convergeant vers la valeur exacte.

Enfin le dernier chapitre n’offre pas moins de 80 pages d’activités les plus diverses quant au public visé (de l’école élémentaire à la terminale scientifique) ainsi que quant au contenu (point de départ purement géométrique, achat d’une Ferrari, paradoxes de Zénon, aire d’un lac, pseudo-cycloïde, royaume imaginaire de Crazystone, …).

Les degrés de description sont également variés, de la simple suggestion au compte-rendu précis, avec sujet-élève et statistiques de réussite. Une même activité est souvent proposée à des niveaux très distants, et dans des environnements différents : papier/crayon ou informatique.

Cet ouvrage devrait faire date dans l’enseignement de l’analyse. Nous ne pourrons plus désormais ignorer les raisons du trop fréquent échec de celui-ci, en termes d’assimilation des concepts, ni les pistes didactiques ouvertes pour franchir les obstacles. Les concepteurs de programmes ne pourront plus ignorer que la définition rigoureuse du mot « limite » ne peut venir qu’en conclusion d’une approche intuitive pluriannuelle.

Même en cherchant bien, il est difficile de trouver ici des défauts autres qu’anecdotiques : on aurait pu signaler que d’autres logiciels, dont certains libres et gratuits, conviennent aussi bien que Cabri pour l’usage proposé ; on aurait pu éviter d’écrire « angle $\frac{\pi}{9} = 20°$ » ; on aurait surtout pu, ayant enrichi les savoirs du lecteur dans le domaine des fractions continues, détailler un peu plus le déroulement des activités les utilisant. Ceci n’est rien à côté des savoirs historiques, culturels, mathématiques et didactiques ici inclus.

Un immense bravo à nos amis italiens pour cette somme de travail, et un immense merci à nos amis belges pour l’avoir mise à la portée des francophones.