THÈMES : ARITHMETIQUE, INEGALITES

Séries : Toutes

ÉNONCÉ

Partie A

Déterminer tous les entiers naturels x, y, z, tels que x + y + z = xyz.

Partie B

Pour n entier naturel non nul donné, on s’intéresse aux entiers naturels
x, y, z vérifiant l’équation x + y + z + n = xyz.

1) Montrer que les nombres x, y, z sont tous inférieurs ou égaux à n + 3.

2) On suppose que z = n + 3.
Déterminer les valeurs possibles de x et de y.

3) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle on peut trouver
des entiers naturels x, y, z strictement inférieurs à n + 3,
vérifiant x + y + z + n = xyz ?