par Jean-Pierre Bourguignon

Éditions de l’École Polytechnique, sep.2007, diffusion Ellipses
328 p. en 17 × 24, ISBN : 978-2-7302-1415-5.

Cet ouvrage qui vient de paraître constitue la forme définitive d’un cours enseigné à l’École Polytechnique en première année de 1987 à 1990 puis en seconde année de 1992 à 1995. Il est donc de niveau master mais contient des rappels sur les éléments de niveau licence nécessaires à sa lecture ; il se décompose en trois parties.

La première, Le cadre analytique, se propose de fortifier les connaissances du lecteur sur les fondements de l’analyse :

• I. Espaces de dimension infinie ;
• II. Espaces de Banach et d’Hilbert ;
• III. Linéarisation des applications différentiables et inversion locale.

La seconde, Le cadre géométrique, introduit de nouveaux concepts :

• IV. Applications du calcul différentiel (Champs de vecteurs, crochets de Poisson) ;
• V. Espaces de configuration (coordonnées locales) ;
• VI. Vecteurs tangents et champs de vecteurs ;
• VII. Points réguliers et points critiques des fonctions numériques.

La troisième, Le Calcul des Variations, constitue le véritable aboutissement du cours et ouvre sur un champ très large d’applications :

• VIII. Espaces de configuration d’objets géométriques (groupe des difféomorphismes) ;
• IX. Équations d’Euler- Lagrange ;
• X. Point de vue Hamiltonien ;
• XI. Symétries et lois de conservation.

Ce volume précédé d’une préface et d’un avertissement précisant les intentions de l’auteur, d’une courte bibliographie de traités essentiels de ces quarante dernières années, s’achève par un index terminologique très complet et par un index des notations.

Les qualités pédagogiques exceptionnelles de Jean-Pierre Bourguignon apparaissent tout au long du livre, non seulement par la pertinence de la construction et de l’exposition, par la clarté de l’écriture, par le choix de nombreux exercices à chercher, par le paragraphe Quelques points d’histoire de chaque chapitre, par la limpidité des figures mais aussi par des détails typographiques
très minutieux.

Une lecture à recommander à tous ceux qui veulent connaître l’actualité de notre discipline, ancrée sur des problèmes anciens.