par Gilbert Arsac

Hermann 2013
162 pages en 16 × 24, prix : 28 €, ISBN 978-2-7056-8691-8

Cette étude historique et mathématique, outre une Introduction, une Conclusion et une bibliographie, comporte sept chapitres :

• I. Les notions de base de l’analyse à l’époque de Cauchy.
• II. Problématique de la convergence uniforme.
• III. La première démonstration de Cauchy (1821).
• IV. Abel et les séries de fonctions (1826).
• V. Seidel et la convergence uniforme (1847).
• VI. Un texte de Stokes sur la convergence uniforme (1847).
• VII. Cauchy découvre la convergence uniforme (1853).

Les chapitres III à VII ont une structure quasi-identique : reproduction du texte historique (en traduction française si celui-ci est écrit dans une autre langue), précédé d’une présentation, et suivi d’une analyse détaillée et d’une conclusion. Dans l’introduction et les deux premiers chapitres on trouve également des extraits d’autres textes originaux de Cauchy et de divers auteurs : De l’Hospital, Liouville, Euler.

En 1821, Cauchy, dans son cours de l’École polytechnique, prétend démontrer que la somme d’une série convergente de fonctions continues sur un intervalle est elle-même continue : ce résultat est faux. Cinq ans plus tard, Abel, qui connaît des contre-exemples à l’affirmation de Cauchy (séries de Fourier qui convergent vers une fonction non continue), « donne une démonstration fausse du théorème exact de continuité de la somme d’une série entière (…) qu’il généralise ensuite en un théorème faux  ». Seidel et Stokes s’efforcent de résoudre le problème au moyen des notions de « série qui converge aussi lentement que l’on veut  », ou de « convergence infiniment lente  ». En 1853 Cauchy reconnaît son erreur antérieure et établit le théorème correct, sans toutefois user du terme « convergence uniforme  ».

Gilbert Arsac se demande comment ces erreurs, qui seraient de nos jours rédhibitoires pour les étudiants de CPGE ou de licence, ont pu être commises par des mathématiciens de cette envergure. Il trouve des réponses dans le flou qui régnait à l’époque, concernant les définitions de concepts mathématiques (variable, fonction, continuité) ou logiques (quantificateurs, négation), ainsi que les notations, dont la précision est essentielle. Il faudra attendre Weierstrass (années 1870) pour uniformiser et stabiliser tout ceci.

L’intérêt de ce texte n’est pas seulement, et même peut-être pas essentiellement, d’ordre historique. G. Arsac, pédagogue efficace, conscient des difficultés de certains de ses étudiants à distinguer la convergence uniforme de la convergence simple, a choisi l’éclairage historique pour montrer l’existence objective de cet obstacle. Et il varie les approches en vue de le surmonter : traduction en notations modernes des démonstrations historiques, ou au contraire rédaction avec le vocabulaire d’époque des démonstrations actuelles ; exemples, contre-exemples, illustrations graphiques ; résumés et synthèses en fin de chapitre et en fin d’ouvrage ; sans oublier les rappels utiles préalables à une lecture profitable.

Accessible, jusque dans le détail des démonstrations, à quiconque a quelques connaissances universitaires, ce beau et solide travail enrichira la culture mathématique des enseignants, comme des étudiants.