par Kevin Houston
traduit de l’anglais par André Lemoine

Éditions De Boeck (Bruxelles), 2011
306 pages en 17 x 24, ISBN : 978-2-8041-6337-2

Il s’agit d’un recueil de conseils méthodologiques, à l’intention des étudiants en mathématiques en début de cursus, mais aussi des étudiants en physique ou élèves ingénieurs ; à la lecture il apparaît qu’une bonne partie peut aussi s’adresser aux lycéens de section scientifique, et même dans quelques cas aux collégiens.

L’ouvrage est scindé en 35 courts chapitres, regroupés en six parties :

1. Lire des mathématiques.
2. Comment raisonner logiquement.
3. Définitions, théorèmes et démonstrations.
4. Techniques de démonstration.
5. Mathématiques utiles à tout mathématicien.
6. Pour Conclure.

Il se termine par trois appendices : A. Alphabet grec, B. Symboles et notations, C. Comment démontrer que…, et un Index.

Chaque chapitre se conclut par une liste d’exercices (non corrigés), et une Synthèse ; quelques autres exercices sont inclus dans le corps du texte.

Les principes prônés ici sont tout-à-fait pertinents, et bien en accord avec les positions de l’APMEP : attitude active, exploration d’une situation par recherche d’exemples, essais et tâtonnements, retours en arrière, distinction nette entre phases de recherche et de rédaction, etc. Les exercices, de niveau très variable, sont originaux et souvent ouverts, aptes à valoriser la prise d’initiative.

Cependant ce texte n’est pas sans défaut : manque de rigueur parfois (non-distinction polynôme/fonction polynôme, écriture d’une racine carrée sans étude préalable du signe du radicande, considération sans précaution de « l’ensemble de tous les ensembles finis », …) ; mauvais choix de certains exemples (pour exposer le principe de récurrence, formule de la somme des $n$ premiers naturels, qui se démontre classiquement tout autrement, …) ; déséquilibre dans la représentation des différents domaines mathématiques (géométrie quasi-absente, arithmétique surreprésentée, absence totale des complexes et des notions de limite et continuité) ; défauts de traduction aussi : tournures sans ambiguïté mathématique mais incorrectes (« au plus vous lirez, au plus vous deviendrez expert », « plus grand ou égal à … »).

Mais surtout, l’auteur emploie des notations et des définitions qui ont peut-être cours outre-Manche, mais qui risquent de déstabiliser gravement les jeunes français : ainsi, pour lui, 0 n’est pas un naturel, ⊂ ne désigne que l’inclusion stricte, le discriminant d’un trinôme est $\sqrt{b^{2}-4ac}$, et le symbole ∴ se lit "dès lors" !

À cause de ces regrettables défauts de forme, je ne pense pas souhaitable de mettre cet ouvrage dans les mains de lycéens ou jeunes étudiants ; par contre je pense qu’il peut être très utile aux enseignants, surtout les débutants qui arrivent dans le métier sans formation pédagogique, en leur donnant un aperçu des erreurs courantes chez leurs élèves, en leur rappelant ce qui est fondamental dans l’activité mathématique, et en leur fournissant une mine d’exercices originaux.