par Marcel Berger
avec la collaboration de Pierre Damphouse

Éd. Ellipses (Opuscules)

Volume 1, avril 2006, 158 p., prix : 15 €., ISBN : 2-7298-2776-5

Volume 2, mai 2006, 134 p., prix : 14 €, ISBN : 2-7298-2777-3

Les lecteurs du Bulletin et en particulier tous ceux qui ont passé le Capes ou l’agrégation depuis une trentaine d’années connaissent bien le traité de géométrie de Marcel Berger dont les premières éditions remontent aux années 70. L’ouvrage étant épuisé, l’auteur annonce un nouveau livre de « géométrie vivante » chez Cassini.

Destinée aux étudiants, aux candidats des concours et aux esprits curieux, la collection Opuscules donne un enchaînement solide tout en se souciant du développement historique et de l’autonomie des volumes.

La théorie de la convexité diffuse aujourd’hui dans de nombreuses branches des mathématiques (géométrie, analyse harmo- nique, probabilités, programmation linéaire) et de leurs applications (vision et animation 3D, CAO, astronomie et astrophysique, biologie, robotique, GPS, …). Ces deux opuscules prennent la convexité au départ (fonctions et ensembles convexes du plan et de l’espace) et nous emmènent dans les grandes dimensions.

Au départ l’auteur souhaitait consacrer le premier tome aux dimensions 2 et 3 et le second aux plus grandes, mais pour respecter la même taille, les polygones sont reportés dans le tome 2 ; les deux volumes contiennent chacun la bibliographie, les index des notions et des noms cités, les notices biographiques correspondant à l’ensemble de l’ouvrage.

Le premier volume est divisé en 8 chapitres : introduction et plan, fonctions convexes, rappels de géométrie, ensembles convexes, forme des convexes, invariants, opérations sur les convexes, relations entre invariants et opérations (Inégalité isopérimétrique, addition de Minkowski, …) ; le second en 9 : douceur de la frontière, convexes compacts, polygones, polyèdres, points à coordonnées entières, ce qui se passe bien en dimensions plus grandes, des phénomènes étonnants, les mystères qui subsistent, problèmes non détaillés.

Écrit dans un style concis et précis, l’ouvrage, agrémenté par des figures éclairantes, se lit avec plaisir. Cette approche à partir d’un thème fédérateur donne une nouvelle vision de nombreux domaines des mathématiques et fait regretter la disparition de la géométrie du programme de trop de classes.