Bulletin Vert n°514
mai — juin 2015
Cours et exercices d’analyse
Mathématiques spéciales MP-MP*-PSI*
CAPES — Agrégation
par Pierre Meunier
CEPADUES- ÉDITIONS, 2014
Voici les deux derniers volumes d’une collection de sept, dont j’ai recensé le premier, Arithmétique modulaire et cryptologie, dans le BV n° 494.
Commençons par quelques remarques générales : la matière de ces deux ouvrages est abondante et correspond à deux parties importantes du programme des classes de mathématiques spéciales MP*. Le cours lui-même est très solide et les exercices riches et variés permettront aux candidats à un concours, élèves de taupe, capessiens, agrégatifs (concours externe ou interne) de structurer leur préparation afin de disposer des connaissances nécessaires pour affronter sereinement les épreuves tant écrites qu’orales.
L’exposé est progressif et les calculs détaillés ligne après ligne conduisent infailliblement au résultat annoncé. Le lecteur est invité de temps en temps à établir un lemme ou achever une démonstration. Celui qui n’a pas le souci de réussir à un concours et en particulier l’étudiant de Licence ou l’enseignant aimerait sans doute qu’on lui offre plusieurs voies d’attaque, qu’on lui laisse plus souvent le temps de chercher, et que, une fois l’exercice résolu, on lui propose de réfléchir à des prolongements possibles.
Les notations sont très nombreuses et la plupart sont usuelles, mais il vaudrait mieux en donner la liste au début ou à la fin de chaque volume plutôt que de les rappeler dans le fil du texte, au milieu d’un énoncé ou d’une démonstration.
La composition du texte vise à l’économie, ce qui ne dégage pas suffisamment les points saillants et les retours en arrière. La typographie très complexe est élégante à quelques coquilles près (présence et place des virgules, barres de fraction obliques, …).
Résumons-nous : deux livres qui vont longtemps servir de références.
Les équations différentielles
284 pages en 14.5 × 20.5, prix 22 €, ISBN : 978.2.36493.140.4
Dans ce volume, le cours occupe le premier chapitre et les exercices (plus de 150 sujets entièrement résolus), les trois autres.
L’introduction présente le livre et donne quelques rappels de cours (Point fixe d’une contraction dans un espace métrique complet, inégalité de Gronwall, décomposition de Dunford d’une matrice, exponentielle d’une matrice, diagonalisation d’une matrice symétrique, racine carrée d’une matrice symétrique).
- 1 — Équations différentielles : cours et généralités
Théorème de Cauchy-Lipschitz local, théorème de Cauchy-Lipschitz global, solution maximale, équations différentielles linéaires, Wronskien, méthode de variation des constantes, équations à coefficients constants, systèmes différentiels autonomes, étude autour d’un point d’équilibre, solutions approchées, Euler, Runge-Kutta, Jacques Bernoulli, Riccati. - 2 — Exercices concernant les systèmes différentiels linéaires et les équations différentielles linéaires scalaires
Utilisation du wronskien, utilisation des nombres complexes, théorème de Floquet, équation de Liapounov, inégalité de Gronwall, théorème d’oscillation, potentiel électrostatique, transformation de Liouville, équation de Bessel, équation d’Airy, théorème d’Heaviside, exercices classiques. - 3 — Exercices concernant le cas non linéaire et les systèmes autonomes
Une équation de Riccati, l’équation différentielle autonome du pendule, systèmes autonomes Hamiltoniens, systèmes autonomes à foyer ou à nœud, système prédateurs-proies de Lokta-Volterra, système de Lienard, oscillateur de Van-der-Pol, systèmes dynamiques de Lorenz, exemples illustrant le théorème de Poincaré-Bendixson. - 4 — Équations différentielles avec conditions aux limites
Noyau de Green et opérateur associé, problème de Sturm-Liouville, équations linéaires du second ordre à coefficients périodiques, équations de Mathieu.
Le lecteur est invité à valider les études qualitatives par une résolution numérique appliquant la méthode de Runge-Kutta, mais sans aborder les problèmes de stabilité des schémas explicites et implicites ni sans donner de figures de l’ensemble des solutions d’une même équation.
Topologie, analyse fonctionnelle et matricielle
354 pages en 15 × 20.5, prix 26 €, ISBN : 978.2.36493.146.6
Le livre commence par un vibrant hommage à René-Louis Baire, initiateur génial et méconnu de l’analyse fonctionnelle du XXe siècle.
L’introduction précise comment l’ouvrage s’articule sur les concepts clés, compacité, complétude, connexité, et montre que la topologie fournit un cadre universel et cohérent à l’analyse qui met en évidence l’interaction des différentes parties du programme de mathématiques de MP*.
Les deux chapitres de cours comportent respectivement une soixantaine et une quarantaine de propositions intégralement démontrées sauf parfois un point de détail laissé au lecteur.
- 1 — Espaces métriques et espaces normés
Espaces topologiques, espaces métriques complets, limite et continuité, espaces normés complets, algèbres normées, compacts, théorème de Weierstrass-Bolzano, théorème de Riesz, espaces métriques connexes, composantes connexes, connexes par arcs. - 2 — Compléments
Espaces de Baire, applications fonctionnelles, distance de Hausdorf, applications, fractales de Sierpinski, courbe de Von-Koch, norme minimale de Hahn- Pflug, norme maximale de Lie, résultats géométriques concernant les compacts, théorème de Markov-Kakutani, sous-groupes compacts de GLn(R), Hausdorffien d’une matrice complexe. - 3 — Cinquante-six exercices de topologie et d’analyse fonctionnelle
Exercices généraux, caractérisation des normes euclidiennes, caractérisation des mesures de Dirac, système dynamique discret associé à un opérateur orthogonal, polynômes de Tchebychev, projections orthogonales, pseudo- inverse d’une matrice, identité de Parseval, matrice de Hilbert, égalités de Mordell, méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires, rayon spectral, lemme de Farkas-Minkowski, minimum d’une forme linéaire sur un polyèdre, algorithme du simplexe. - 4 — Six problèmes de révision
- 1. Points extrémaux d’un convexe, normes jauges, application.
- 2. Compacité.
- 3. Calcul fonctionnel.
- 4. Étude de L1(R).
- 5. Topologie et analyse fonctionnelle.
- 6. Topologie et polynômes de Legendre.
