par Frédéric Laroche

Éditions Ellipses, 2010
476 pages en 17,5 × 24, ISBN : 978-2-7298-6009-7

Il y a sept ans Frédéric Laroche nous avait guidés dans des Promenades mathématiques (Ellipses 2003 ; recensé par Henri Bareil dans le BV 450).

Aujourd’hui, il nous convie à l’exploration plus détaillée, plus systématique, quasi exhaustive, de l’un des territoires alors visités : l’arithmétique, et plus généralement la théorie des nombres. La démarche est la même : à partir d’une perspective historique (remontant au Paléolithique), aboutir à un état des lieux des connaissances actuelles, y compris les conjectures encore ouvertes.

Le style est, comme dans les « Promenades », léger, teinté de pointes d’humour (adresses « à la lectrice » aussi souvent qu’au lecteur, raccourcis imagés « on tripote $y^{2} = x^{3} + Ax + B$ pour attraper les points P » …) ; l’auteur ne recule pas devant les abus de langage quand ils n’entraînent pas d’ambiguïté.

L’ouvrage comprend, en encadrés, des biographies, des portraits, ainsi que de belles illustrations de G. Bouquet, J.-F. Colonna, J. Leys, C. Mercat. Le rôle important de l’informatique est souligné par quelques programmes Maple.

Mais l’essentiel du contenu est purement mathématique : chaque fois que c’est raisonnablement possible, les résultats sont démontrés, soit par citation des auteurs originels, soit par re-rédaction, et souvent de plusieurs manières ; sinon un renvoi à la bibliographie permet de trouver ces preuves. Frédéric Laroche ne recule pas devant de longs calculs détaillés, entrecoupés de commentaires ; souvent il s’attache à nous faire suivre le cheminement de la pensée du créateur.

Cet imposant travail de compilation, après une Introduction et avant une liste d’abréviations et symboles (2 pages), une bibliographie (8 pages) et un index (5 pages), est structuré en 17 chapitres ; les huit premiers concernent l’arithmétique proprement dite, sans utilisation de l’analyse complexe ; ils ont pour titres : Brève histoire des débuts de l’Arithmétique ; Bachet et Fermat ; Encore Fermat, Euler, Legendre, Gauss ; Dirichlet et les fonctions arithmétiques ; La loi de réciprocité quadratique ; Le théorème de Wilson et ses conséquences ; Fractions continues ; Les suites de Farey. Puis la théorie des Fonctions d’une variable complexe, résumée dans le chapitre 9, domine la théorie des nombres : Fonction Gamma ; Fonction Zêta ; Théorème des Nombres Premiers ; Fonctions Elliptiques ; Fonctions Thêta de Jacobi ; Formes modulaires ; Partitio numerorum ; Formes quadratiques.

Dans une œuvre de cette importance il est inévitable que se glissent quelques scories : rares coquilles et erreurs ; Index un peu incomplet ; libertés prises avec la syntaxe (« on a x est divisible par … »), avec la rigueur des notations (« la fonction f(x) … » ; « f = z x holomorphe » ; …) ; plus gênante : l’absence de rappel, ou de renvoi, quand intervient une notation ou un mot défini cent pages plus haut (F. Laroche croit-il son lecteur doté d’une mémoire absolue ?) ; et parfois l’énoncé d’un théorème est insuffisamment différencié de sa démonstration, une définition générale insuffisamment différenciée de la donnée d’exemples.

En dépit de ces défauts mineurs, les Escapades arithmétiques devraient rapidement devenir un outil incontournable pour quiconque s’intéresse à la théorie des nombres. On peut en concevoir l’usage de deux façons : le lecteur à la recherche d’une culture, d’un panorama de l’état actuel des connaissances, pourra le lire en sautant la plupart des développements calculatoires, dont le simple survol donne une idée de l’activité des chercheurs ; celui qui cherche à approfondir un sujet précis, à répondre à une problématique, y trouvera à coup sûr une réponse, ou au moins une référence bibliographique directement utilisable.

Cette lecture sera utilement précédée, accompagnée ou suivie de visites du site de Frédéric Laroche.