1re Série A et B, pour entrer en Sixième (1 heure 1/2).

I. Un cultivateur a vendu 36 sacs de blé à 76 fr. 50 le sac et 25 sacs d’avoine à 56 fr. 80 le sac. Sur le produit de cette vente, il achète d’abord 5 sacs d’engrais à 54 fr. 80 l’un. Avec le reste, il achète, à 0 fr. 60 le mètre carré, un terrain rectangulaire de 32 m. 50 de largeur.

Calculer : la surface de ce terrain ; sa longueur.

II. Un père a acheté une bicyclette à chacun de ses trois fils. La deuxième bicyclette et la troisième valent ensemble 900 francs ; la troisième et la première coûtent ensemble 750 francs ; la première et la seconde ensemble sont payées 650 francs. Quel est le prix de chaque bicyclette ?

2e Série A et B, pour entrer en Cinquième (1 heure 1/2).

I. Un marchand achète 60 000 kilogrammes de houille qu’il paye 7 francs les 100 kilogrammes en gare de départ. Le transport lui coûte 0 fr. 015 par 100 kilogramme et par kilomètre, et il se trouve à 250 kilomètres de la gare expéditrice. De plus le camionnage à l’arrivée lui revient à 1 fr. 50 les 1 000 kilogrammes. Combien doit-il revendre le sac de 50 kilogrammes de houille pour réaliser sur son achat un bénéfice de 660 francs ?

II. Deux ouvriers ont travaillé, le premier pendant 37 jours, le second pendant 25 jours, dans la même ferme. Le premier, qu gagne 2 francs de plus par jour que l’autre, a reçu en tout 218 francs de plus que le second. Quel est le gain journalier de chaque ouvrier ?

6e Série C, pour entrer en Première C (2 heures).

I. Dans un triangle $ABC$, l’angle $A$ surpasse de 90° l’angle $C$.

1. Démontrer que l’angle $C$ est inférieur à 45°.
2. Démontrer que la tangente $BH$ au cercle circonscrit au triangle $ABC$ est en même temps hauteur du triangle.
3. Démontrer que $BH$ est moyen proportionnel entre $HA$ et $HC$.
4. Démontrer que, si on appelle $2R$ le dianmètre du cercle circonscrit au triangle $ABC$, on a :
   

   $$4R^2=AB^2+AC^2$$

(Une figure montre le point $H$ sur le prolongement du côté $AC$)

II. La base d’un rectangle surpasse de 20 mètres sa hauteur. On diminue la hauteur de 10 mètres et l’on augmente la base de 15 mètres ; la surface du nouveau rectangle est inférieure à la surface primitive de $\alpha$ mètres carrés. Calculer les dimensions du rectangle donné.

Limite de $\alpha$ pour que le problème soit possible.

6e Série D, pour entrer en Première C (2 heures).

I. Dans un triangle $ABC$ la bissectrice de l’angle $A$ rencontre le côté $BC$ en un point $D$. Évaluer les segments $BD$ et $DC$ en fonction des côtés $a$, $b$, $c$ du triangle.

On projette $AD$ en $AE$ et $AF$ sur $AC$ et sur $AB$. On pose $AD=x$, $AE=AF=y$. En considérant successivement les triangles $ADC$ et $ADB$, établir deux relations entre les données $a$, $b$, $c$ et les inconnues $x$ et $y$. \’Eliminer $x$ pour avoir $y$ ; on constatera que la valeur de $y$ ne dépend que des quantités $a$ et $b+c$. En posant ensuite $a+b+c=2p$, on pourra écrire

$$y=\frac{2p(p-a)}{b+c}$$

II. Soit $I$ le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.

Établir les relations

$$\frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{AD}{2p}$$

En appelant $G$ le point de contact du cercle inscrit avec le côté $AC$, et en utilisant la formule connue $AG=p-a$, retrouver l’expression de $y$ obtenue ci-dessus.