Exercices

Exercice 476-1 (Maurice Bauval – Versailles)
À propos de l’exercice 473-4.
On donne les trois distances a, b, c de l’orthocentre P aux trois sommets du triangle ABC. On suppose le triangle acutangle. Calculer les longueurs des trois côtés BC,CA et AB du triangle.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 476-2 (Frédéric de Ligt – Montguyon) – Corol’aire no 67

On a l’identité $(n+2)n+1=(n+1)^2$ ; cela suggère l’idée de s’intéresser aux suites $(a_n)$ qui vérifient $a_{n+2}a_n=a^2_{n+1}$. En particulier, pourriez-vous montrer, qu’à partir
de $a_1 = 1$ et de $a_2 = m$ avec m entier supérieur à 1, la suite $(a_n)$ ne produit que des entiers naturels ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 476-3 (Louis Rivoallan – Rochefort-sur-Mer) – Corol’aire n° 59

On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que, contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n − 1) zéros avec la convention précédente.
Montrer que, pour tout n, il y a exactement deux autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette condition.

L’idée est venue d’un collègue de l’IUFM de La Rochelle qui a cherché à généraliser un exercice posé au concours de recrutement des professeurs des écoles.

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 474-1 (Raymond Raynaud - Digne)

Étant donné un triangle équilatéral ABC de hauteur h, on désigne par f (M) la somme des distances d’un point M du plan aux droites (AB), (BC) et (CA).
Quel est le lieu des points M tels que f (M) soit égale à une longueur donnée l ?

Solution de Pierre Samuel (Bourg-la-Reine)
Solution de Jean Gounon ( Chardonnay )

Solutions de Robert Bourdon ( Tourgeville ), Jean-Claude
Carréga ( Lyon ), Alain Corre ( Moulins ), Christine
Fenoglio (Lyon ), Georges Lion ( Wallis ), A Marcout
( Sainte - Savine), René Manzoni ( Le Havre ), Jacques
Ollier ( Noisy-le-Sec ), Christian Perroud ( Habère-Lullin),
Raymond Raynaud ( Digne ), Daniel Reisz ( Auxerre ) et
Odile Simon ( La Prenessaye) .

Exercice 474-2 (Georges Lion - Wallis)

Dans son intéressant article (Bulletin Vert n°470), Éric Barbazo cite l’étude de la fonction $\left(x + {1 \over x} \right) \sqrt{1 \over x}$ proposée en première partie du baccalauréat en 1911 à Lille,
comme l’un des premiers exemples d’application du calcul des dérivées en conformité avec les programmes de 1902.
Comment au contraire trouver le minimum de ladite fonction sans avoir recours aux
dérivées ?
Solution de l’auteur
Solution de Dominique Tournès (Saint-Denis de la Réunion)

Solutions :
– Alban Da Sylva (Nouméa), avec un changement d’inconnue, aboutit à une fonction trigonométrique et une aire de triangle à mesurer.
– Marie-Laure Chaillout (Epinay / Orge), Christine
Fenoglio (Lyon), René Manzoni (Le Havre) et Éric
Oswald (Borgo) utilisent une factorisation de polynômes.

Exercice 474-3 (Alain Corre - Moulin)

Étant donné un triangle ABC, on place les points D, E et F respectivement sur les segments [BC], [CA], [AB]. Les droites (AD), (BE) et (CF) se coupent en P, Q et R.
En notant x , y et z les rapports BD/BC, CE/CA et AF/AB, déterminer l’aire du triangle PQR en fonction de celle de ABC, de x , y et z .

Solution de René Manzoni (Le Havre)
Compléments de l’auteur qui étudie le cas particulier $x=y=z$

Solutions de Jean-Claude Carréga (Lyon) , Christine
Fenoglio (Lyon), Georges Lion (Wallis) et Christian
Perroud (Hadère-Lullin).

Exercice 474-4

Les solutions de Jean-Claude Carréga (Lyon), Jean-Yves
Coquan (Albi), Raymond Raynaud (Digne) et Odile Simon
(La Prenessaye) à cet exercice sont arrivées après l’envoi de la rubrique qui est parue dans le Bulletin Vert no 475.

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