par Nicolas Rouche
avec la participation de Ginette Cuisinier, Lucie de Laet, Jean-Yves Gantois, Christiane Hauchart, Manoëlle Tancré, Rosane Tossut

Éditions Ellipses, 2008
330 pages en 16,5 × 24, ISBN 978-2-7298-3905-5

Cet ouvrage est le deuxième tome d’un ensemble dont le premier volume, intitulé « Nombres, grandeurs, proportions : Du quotidien aux mathématiques », est une coédition APMEP/Ellipses (brochure n° 976), parue en 2006 et présentée dans le BV n° 468. Voir cette présentation.

Il a la même organisation d’ensemble : Un avant-propos, de 20 pages, puis 12 chapitres, chacun suivi de 9 à 18 exercices :

1. La verticale et l’horizontale
2. Les représentations planes
3. Superposabilité, mouvements, symétries
4. En partant du carré
5. En partant du rectangle
6. En partant du triangle équilatéral et du disque
7. Pavages et angles de polygones
8. Aires et périmètres des surfaces planes
9. Volumes et aires des solides
10. Construction de figures
11. Ombres et projections
12. Pythagore et Thalès

auxquels s’ajoutent cinq appendices, Pour en apprendre plus, une bibliographie et un index.

L’avant-propos précise le public visé : instituteurs et leurs formateurs, parents, grands élèves, auteurs de programmes et de manuels ; ainsi que le projet des auteurs : prendre à contre-pied la construction axiomatisée des mathématiques. «  Nourris d’intuitions physiques, perceptions et mouvements  », ils refusent tout cloisonnement disciplinaire. Ils procèdent systématiquement du particulier vers le général, du concret vers l’abstrait («  abstraire est une action qui doit bien s’appliquer à quelque chose, et cette chose est le concret ») ; la plupart des définitions d’objets sont reportées dans les annexes, et sont volontairement redondantes, incluant des propriétés.

On ne trouvera ici aucune démonstration rédigée selon les règles ; pourtant ni raisonnement ni calcul ne sont absents, par exemple quand on établit les angles de polygones.

Ce parti-pris présente quelques inconvénients, par exemple le risque de mettre sur un même plan une généralisation à partir d’exemples, ou une argumentation à support visuel, et une démonstration rigoureuse, qui peut apparaître comme superflue tant ces argumentations sont convaincantes.

Certains choix sont contestables, comme le mot « congruents » pour des solides isométriques, la référence exclusive à des objets conçus par l’homme (justifiée pour le carré, certes, mais pour le cercle il y a aussi le soleil, les ondes d’un caillou lancé dans l’eau, …).

Cet ouvrage n’en est pas moins exemplaire en tant que guide dans le difficile franchissement du fossé qui sépare le quotidien de l’univers des mathématiques, conçues comme « horizon », et construites par approximations successives.