par Renaud Chorlay

Hermann, 2015
366 pages en 16 × 23, prix : 45 €, ISBN : 978-2-7056-8106-7

Ce livre est un ouvrage d’histoire des mathématiques, mais histoire des idées et non des personnes : ici, pratiquement aucun élément biographique sur les protagonistes. On y trouve 13 textes originaux, traduits si nécessaire par R. Chorlay : trois de Hermann Weyl, six d’Élie Cartan, un de Otto Schreyer, un de Heinz Hopf, un de William Threlfall (d’après Marston Morse), un d’Oswald Veblen et John Whitehead. Ils sont classés, par ordre approximativement chronologique, en huit chapitres, comportant chacun une présentation, le ou les textes-sources et des notes et compléments :

• I. Hermann Weyl
  Géométrie purement infinitésimale
• II. Hermann Weyl
  Le problème de l’espace
• III. Nouvelles recherches en théorie des groupes
• IV. Élie Cartan
  Espaces généralisés et repère mobile
• V. Élie Cartan
  Géométrie et topologie
• VI. Heinz Hopf
  Géométrie différentielle et forme topologique
• VII. Le calcul des variations globales selon Morse
• VIII. Veblen et Whitehead
  Un ensemble d’axiomes pour la géométrie différentielle

Outre les commentaires de R. Chorlay, les compléments contiennent de larges extraits d’autres écrits des auteurs cités, mais aussi de Poincaré, Klein, Hessenberg, Hilbert, Engel, Killing et quelques autres, dont certains antérieurs ou postérieurs à la période indiquée. L’ouvrage est complété par une volumineuse bibliographie.

Cette lecture est exigeante ; entrer dans tous les détails nécessite pour le lecteur un solide bagage dans les domaines mathématiques étudiés, ou au moins en calcul différentiel, géométrie projective, topologie, théorie des groupes. La complexité des notations est extrême (indices en haut et en bas, à droite et à gauche, parfois une même lettre a des significations différentes selon qu’elle est droite ou en italique), le vocabulaire n’est pas toujours identique au nôtre (« continu » pour « connexe », « fini » pour « borné », …) et de plus un certain nombre d’erreurs typographiques rendent certaines formules incohérentes (confusion de d avec δ, de $x_i$ avec $x_1$, omission de caractères ). Les figures sont rares, et un Index fait cruellement défaut.

Cependant ce livre est à conseiller vivement, d’une part aux spécialistes des domaines mathématiques étudiés, qui y trouveront un regard historique inédit (de nombreux textes n’existaient qu’en allemand), ainsi qu’aux chercheurs en histoire des mathématiques ; d’autre part à tous ceux qui, acceptant d’être parfois un peu perdus, peuvent s’intéresser au développement rapide de théories sous la pression des problèmes de physiciens : le moteur essentiel est la recherche d’un cadre mathématique pour l’expression de la Relativité Générale (ce qui ne va pas sans quelques impasses : Weyl a cru un certain temps avoir unifié les théories de la gravitation et de l’électromagnétisme), mais les mathématiciens sont rapidement sortis du cadre de l’espace-temps de dimension quatre pour étudier les espaces non-euclidiens de dimension n quelconque ; théories qui parfois rejoignent une réflexion philosophique sur la nature de l’espace.