Gérard Vergnaud nous a quitté le 6 juin dernier, après avoir tracé en didactique des mathématiques un sillon profond. Élève de Piaget, il a emprunté à son directeur de thèse le concept de schème et l’a prolongé en étudiant notamment les situations additives et multiplicatives. Cet apport, connu sous le nom de théorie des champs conceptuels, nous nourrit encore et permet de poser des jalons sur le chemin que nous avons repris, celui sans fin du questionnement sur ce que nous sommes et nous faisons.

Gérard Vergnaud était un compagnon de route de l’APMEP et beaucoup de ses contributions ont enrichi notre réflexion et continuent de nous faire réfléchir à notre manière de penser l’enseignement des mathématiques.

En guise d’hommage à sa pensée, j’ai choisi deux articles, l’un paru dans le n°307 de notre Bulletin Vert (février 1977) — texte d’une conférence donnée aux journées de l’APMEP de 1976, « Activité et connaissance opératoire » — et l’autre récent (2010), que l’on peut trouver sur son site, intitulé « Le long terme et le court terme dans l’enseignement des maths ». Il m’a semblé que ces deux articles, séparés de plus de 30 ans retracent l’évolution de ses travaux et de sa réflexion.

Le premier article contient le germe de ce qui fera le cœur de sa théorie, la notion de concept, en distinguant l’aspect opératoire, le théorème en acte, et l’aspect théorique, le théorème explicite. Le rapport entre les deux contient toute la question du langage.

Citons ce passage du début de son discours :

La pensée n’est conceptuelle que si elle obéit à des critères d’ordre théorique et d’ordre pratique à la fois. Un simple comportement même adapté n’est pas conceptuel, mais un discours théorique, s’il ne donne pas lieu à une conduite adaptée dans les situations où le discours s’applique, n’est pas non plus conceptuel. Une pratique obtenue par dressage ou conditionnement n’est pas un concept, mais un concept qui n’est pas opératoire n’est pas un concept.

qui fait écho à la dernière partie, quand il aborde la question du sens, qui — nous dit-il — rejoint celle du désir.

Pour qu’un contenu ait du sens pour un élève,

• il faut que celui-ci y voit quelque rapport avec des activités significatives pour lui, qu’il s’agisse d’activité manuelle ou technologique (…),
• il faut que l’élève y voit une vraie question, donc ni trop difficile ni trop facile (…),
• il faut qu’il s’inscrive dans un projet qui ait quelque corps, un enseignement de mathématiques de masse ne s’adresse pas principalement à de futurs mathématiciens, et peut-être y a-t-il des choses à revoir de ce point de vue (…).

Cette question du sens, qui nous préoccupe aujourd’hui avec la réforme du lycée semble apparaître dans les programmes de manière contradictoire.

• Une spécialité maths en cycle terminal faite pour les futurs matheux, et les « préparer » aux classes supérieures. Ces maths chargées peuvent renvoyer au terme de dressage que Vergnaud utilise, allant de la récitation de cours mené tambour battant tellement le temps manque, aux exercices stéréotypés qui génèrent des réflexes mais pas forcément des actes.
• Et une option mathématique pour ceux qui n’en veulent plus à la goulée, mais qui en ont besoin pour leur CV Parcoursup. Extraordinairement, ce sont celles-là qui abordent le plus, à travers la forme de leur programme, la question du sens, avec des entrées par thèmes.

De la notion de schème, Vergnaud en est venu à étudier celle de compétence, et à rapprocher l’étude des compétences scolaires des compétences professionnelles. Il en a produit une didactique professionnelle qui dépasse très largement le cadre des mathématiques. Ce que Vergnaud appelle compétence n’est pas exactement ce que le terme vernaculaire désigne. Une compétence est une organisation de plusieurs savoirs. Le savoir-faire rejoint ici l’idée de réflexe. La transposition de ces réflexes d’une situation à l’autre est indispensable à l’émergence de compétences. Une part d’autonomie créative aussi. Mais pour ça il faut du temps, et finalement on peut bien dire qu’une compétence est toujours en cours de construction. Cela relativise l’idée d’évaluation « par compétences ». Il me semble que celle qui a eu le vent en poupe au Collège est plutôt basée sur un paradigme behavioriste. Hélas, la somme stricte des savoir-faire ne crée pas la compétence. Pour cela il faut du temps, et des situations d’apprentissage adaptées.

Et c’est bien le temps qui semble central dans le processus d’apprentissage. Un temps long, et pas nécessairement linéaire.

Vergnaud en fait une analyse dans son article de 2010 :

Le long terme se réfère inévitablement à une perspective développementale : ce n’est pas en quelques jours ou quelques semaines qu’un enfant acquiert une nouvelle compétence ou comprend un nouveau concept, mais au long de plusieurs années d’école et d’expérience.

Dans ce texte, il revient à son cas d’école, les situations prototypiques de l’addition. Si la réunion de deux collections fournit rapidement un exemple immédiat d’action qui se traduit symboliquement par une écriture de la forme , et peut être abordée dès le CP, celle de la combinaison de deux transformations négatives n’est maîtrisée qu’en début de Collège (j’ai perdu 3 puis j’ai perdu 4). On pourrait penser que l’enseignement des nombres relatifs rendrait le problème facile, mais « en fait ce n’est guère le cas. L’obstacle de l’intuition première n’est pas levé facilement ».

Il analyse alors les glissements possibles entre les situations additives de type suite de transformations : gagné 3 puis gagné 4, perdu 3 puis perdu 4, gagné 3 perdu 4, et joue sur la variable didactique de la donnée de deux termes parmi état initial, transformation, état final. Les situations se ramenant simplement à la forme apparaissent comme très éloignées les unes des autres. En conclusion, en faire un concept unifié est complexe, et prend du temps. L’enseignement se pense donc sur du court terme tout autant que du long terme :

Les idées de long terme et de court terme sont à nouveau pertinentes :

• le long terme parce que certains cas sont résolus par de relativement jeunes élèves, alors que des élèves de 15 ans et des adultes restent en échec devant d’autres cas
• le court terme parce que c’est l’occasion pour l’enseignant de montrer à la fois la parenté des énoncés et la différence des opérations de pensée nécessaires à leur traitement

Il aborde ensuite les champs de la multiplication/division, et la notion de long terme y est encore plus parlante. Combien d’adultes sont en échec devant une situation de proportionnalité où les nombres ne sont pas en rapport simple de multiples/diviseurs ? Ce n’est pas faute d’avoir rencontré et re-rencontré et encore re-renconté le cas à l’École, au Collège, au Lycée…

Est-ce un échec de notre enseignement national ? Sans doute. Mais pourquoi ? Parce que la vision dominante dans nos pratiques, héritées d’une forme institutionnelle, est certainement celle d’un court-termisme un peu strict : j’enseigne-j’évalue-je passe à autre chose. Et que nous devons utiliser ce temps du court terme principalement à une forme de conditionnement.

Sa conclusion est explicite :

Le concept de schème est essentiel puisqu’il désigne des formes d’organisation de l’activité pour des classes de situations bien identifiées, et circonscrites. Le couple théorique situation/schème doit donc être substitué au couple stimulus/réponse ; trop étroitement behavioriste (…)

Cher Gérard, vous êtes bien sûr parti trop tôt, et vous vous étiez donné du travail pour au moins le siècle à venir.

Nous vous regrettons. L’APMEP s’est nourrie de vos contributions et nous essayons toujours de les faire vivre. Notre chantier « l’enseignement des mathématiques au XXI^e siècle » s’intéressant à la signification de ce qu’on fait, comment et pourquoi on le fait, a tout à gagner de s’imprégner de l’héritage que vous nous avez laissé.