Algorithmique

• Algorithmique dans les civilisations anciennes
  dans la brochure Algorithmique et programmation au cycle 4 à partir des grandeurs
  IREM de Poitiers, avril 2017
  par Thierry Chevalarias, Frédéric De Ligt, Jean-Paul Guichard
  • La fiche Publimath
  • Nous sommes allés voir dans les mathématiques anciennes les problèmes qui étaient traités, les algorithmes qui étaient utilisés et la façon dont ils étaient exprimés pour enrichir et éclairer notre enseignement. L’enrichir en nous fournissant des situations qui lui donnent une profondeur historique, et peuvent l’ouvrir sur d’autres disciplines. L’éclairer en nous montrant qu’il n’est pas forcément pertinent de vouloir normaliser les démarches algorithmiques de nos élèves à propos d’un problème qu’ils ont à programmer, que l’on peut programmer des algorithmes sans passer par des formules…
  • Nous vous proposons quelques exemples égyptiens, grecs et chinois. Mais nous vous suggérons d’aller voir aussi du côté de la Mésopotamie, de l’Inde et des pays d’Islam.
  • Ce texte est extrait de la brochure Algorithmique et programmation au cycle 4 à partir des grandeurs publiée par l’IREM de Poitiers en avril 2017. Vous pourrez trouver dans cette brochure la programmation en Scratch des algorithmes de Héron et de Théon d’Alexandrie.

• La récurrence au fil des siècles
  dans Le Bulletin Vert n° 506, novembre — décembre 2013, p. 600
  par Pierre Legrand
  • La fiche Publimath
  • La notion d’algorithme est depuis quelque temps offerte (avec des résultats qu’il serait intéressant d’évaluer) à des élèves de seconde dont la majorité pourtant n’ira pas vers les sciences. La récurrence, elle, n’apparaît qu’en terminale S et la descente infinie de Fermat est absente de l’enseignement secondaire.
  • On peut s’étonner de cette différence de traitement entre des concepts aussi intimement liés (que serait en effet l’algorithmique sans itérations ni tests d’arrêt ?). On peut y voir deux explications : une certaine tendance actuelle à privilégier les instruments de calcul face au raisonnement, une méfiance très ancienne envers tout ce qui touche à l’infini.
  • C’est sans doute cette méfiance ancestrale qui explique que récurrence et descente, entrevues dès l’Antiquité, aient eu besoin de deux millénaires pour voir leur mécanisme explicitement mis à jour. Et l’histoire n’est pas encore vraiment terminée.

• Préludes à la récurrence dans l’antiquité
  Brochure n°166, 2002
  par le Groupe d’histoire des mathématiques de l’IREM de Toulouse
  • La fiche Publimath
  • Les textes présentés dans cette brochure composent quelques moments d’une « préhistoire » de la récurrence. Certains illustrent clairement l’induction « amplifiante », où le résultat général est affirmé à partir de l’observation de quelques cas particuliers : d’autres relèvent de démarches plus difficiles à classer, dans lesquelles on peut voir se profiler le nœud du raisonnement par récurrence, à savoir le passage d’un rang au suivant.
  • Les textes ont été choisis dans un double souci : illustrer différents niveaux de la démarche inductive ; proposer des documents, en arithmétique comme en géométrie, que le professeur pourra exploiter avec profit en classe.

Nombres

• Les nombres négatifs
  Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs
  par Anne Boyé
  • Chacun conserve plus ou moins dans un coin de sa mémoire des moments de son éducation mathématique ; parmi ceux-ci, il y a fort probablement une petite place pour les négatifs.
  • Certains, qui ont continué longtemps de pratiquer les mathématiques, ou les pratiquent toujours, ont peut-être perdu le souvenir de leurs premières interrogations, tant les négatifs leur sont devenus anodins.
  • Pour d’autres, cela fait partie des notions obscures, sur lesquelles ils ont appris des règles, parce qu’il fallait bien s’en sortir, mais sans trop comprendre le fond des choses, sans trop en parler pour autant, car dans tous les cas, les nombres négatifs font partie des notions élémentaires des mathématiques, c’est un fait acquis.

• Les nombres réels
  La construction des nombres réels par Dedekind
  par Louis-Marie Bonneval
  • C’est Dedekind qui prend conscience de la nécessité de clarifier la notion de nombre elle-même.
  • Dans Que sont et que doivent être les nombres ? (1887) il répond longuement à cette question, affirmant :

    les nombres sont de libres créations de l’esprit humain, ils servent comme moyen permettant de saisir avec plus de facilité et de précision la diversité des choses.

  • Annexes :
    La fabuleuse histoire des nombres, Éliane Cousquer
    Introduction de la Géométrie de Descartes (1637)

• Le nombre $\pi$

  

  numéro spécial $\pi$

  • Un numéro spécial du Petit Archimède qui constitue une promenade à travers les mathématiques, depuis l’Égypte antique jusqu’à nos jours (Édité en 1980 puis réédité en 1992 par l’ADCS [1]).
    
    

• Matériaux pour l’histoire des nombres complexes
  par Jean Itard
  • Une petite brochure très ancienne (1969), mais riche en renseignements et en textes originaux du 16^e et 17^e siècles. Téléchargeable sur le site de l’APMEP, ou à retrouver chez un ancien collègue ou dans les archives de votre Régionale.

Mathématiques en Inde

• La géométrie du sacrifice en Inde védique dans les Sulbasutras
  Stage d’histoire des mathématiques, IREM de Toulouse, janvier 2010
  par Olivier Keller
  • 1^re partie
    I — Contexte historique
    II — Les sulbasutras, annexes du Veda
    III — Le sacrifice
  • 2^e partie
    IV — L’énergie fondamentale et ses changements de forme
    V — L’énergie fondamentale et son extension
  • 3^e partie
    VI — Les fondamentaux de la géométrie védique
    VII — Analogie avec deux problèmes centraux des Éléments d’Euclide
    Bibliographie

Mathématiques en Chine

• Mathématiques chinoises
  par Arnaud Gazagnes
  • Les nombres dans la Chine Ancienne
    En chine ancienne : l’homme et son nombre.
    L’écriture des nombres ; avec des baguettes ; le zéro ; les opérations ; les nombres négatifs et les nombres décimaux ; bibliographie.
  • « Juigui », une technique de la division
    Des algorithmes permettant d’effectuer des divisions apparaissent sous forme versifiée en Chine vers la fin de la Dynastie des Song (XI^e siècle). Ce style est largement répandu dans les écrits à partir de la Dynastie des Ming (1368 — 1644). Nous allons nous intéresser à l’un des ces algorithmes — l’utilisation des « jiugui » — donné dans un ouvrage de 1592.
  • Le théorème des restes chinois
    Les calculs en astronomie ont donné lieu très probablement à la naissance des congruences. Qin Jiushao, au XIII^e siècle, résolut (ou, du moins, trouva une solution à) un problème de répartition de grains, basé sur un système de congruences. On s’intéressera à la résolution complète d’un système de trois équations, faite dans son « Shushu Jiuzhang » (Neuf chapitres sur le calcul) (1247).

• Le calcul figuré de l’ancien âge babylonien et de la Chine des Han
  Exposé à l’Université Ouverte, Lyon, janvier 2009
  par Olivier Keller
  • 1^re partie
    I — Contexte babylonien
    II — Antécédents
    III — Exemples de problèmes du second degré résolus par des figurations, tablette BM 13901
  • 2^e partie
    IV — Figuration de la formule babylonienne $\sqrt{x^2 + a^2} \approx x + \dfrac{a^2}{2x}$
    V — Un calcul figuré explicite : tablette TMS 9 (textes mathématiques de Suse)
  • 3^e partie
    VI — Chine des Han (-206 à 220). Le théorème base-hauteur
    Exercices d’application
    Pour en savoir plus

Mathématiques en Grèce

• Pour se repérer dans les mathématiques grecques
  Panorama des mathématiques grecques
  par Henry Plane
  • Ce panorama n’est pas à comparer aux nombreux ouvrages qui ont été publiés sur la science grecque. Les parties le composant se veulent de simples résumés pour qui se perd dans les dates, lieux, auteurs et calculs de cette époque.
    Notre objectif est de fournir à chacun quelques bases simples pour accrocher les fruits de ce qu’il trouvera lui-même ailleurs.
  • Après un peu d’histoire générale, divers articles sont consacrés à la géométrie et à l’arithmétique. Les autres constituent des notes en rapport avec le sujet.

• Les Éléments d’Euclide
  Un aperçu des Éléments d’Euclide
  par Olivier Keller
  • Nous apprécierons l’architecture de cet impressionnant édifice hypothético-déductif en étudiant l’une des propositions phares de l’œuvre d’Euclide : la proposition 47 du Livre I qui énonce le théorème « de Pythagore ». Partant de cette proposition, nous en chercherons tous les « éléments », c’est-à-dire tout l’arsenal (axiomes, postulats, propositions et constructions antérieures) mobilisé par Euclide pour prouver le fameux théorème.

Mathématiques à Rome

• Les mathématiques romaines
  par Henry Plane
  • Le but des textes et documents suivants n’est autre que de rassembler quelques renseignements concernant les moyens dont disposaient les romains pour calculer.
    Il ne sera question que de calculs et non d’arithmétique, de moyens opératoires et non de science des nombres.
    Les Grecs avaient distingué l’arithmétique, partie théorique de la science, et la logistique, art du calcul. Les Romains n’apportèrent pas de contribution à la première et n’usèrent que de la seconde, celle dont nous parlerons ici.
  • Outils de calcul romains
    Parmi les nombreux systèmes de numération utilisés par nos ancêtres et tombés dans l’oubli, il en est un qui survit au moins dans ce que l’on nomme l’Occident : la numération romaine.
  • Vocabulaire numérique
  • Des calculs, avec l’abacus
  • Des documents :
    Des distances gravées dans la pierre
    Des CIƆ et des CCIƆƆ
    Abaque de poche
    Extrait des « Commentaires » de Remi d’Auxerre sur Martianus Capella
    Extrait de la géométrie dite du « faux Boèce » (1499)
    Extrait de « Défense du calcul à l’ardoise » de Freigius (fin 16e s.)
    Extrait de « L’arithmétique en sa perfection » de F. Le Gendre (1754)

Mathématiques au Moyen-âge

• Éclairs sur le Moyen-âge
  par Henry Plane
  • Introduction
    L’objectif donné à ce travail a été de regrouper puis de présenter, avec quelques commentaires, des documents pour une approche des mathématiques en Occident entre les VI^e et XVI^e siècles.
  • Dans le moule romain : du VI^e au IX^e siècle
  • L’an mil : Xème - XIème siècles
  • À la naissance de l’imprimerie : du XV^e au XVI^e siècle en Europe occidentale
  • Bibliographie