par Mahdi ABDELJAOUAD.

Éd. : Centre de Publications Universitaires, Tunis, 2002.
CODIFFUSION PAR L’APMEP, pour ses adhérents, à 10 €.

Brochure de 268 pages en 15,3 × 23,7.
Excellente présentation. Deux Index (noms propres, terminologie). Bibliographie.

ISBN : 9973-37-042-2.

L’auteur a délibérément choisi « de remonter aux sources : présenter les concepts arithmétiques à la manière de leurs inventeurs tout en utilisant un langage moderne et en s’appuyant sur leurs propres raisonnements, en indiquant leurs questionnements et leurs doutes ».

Chacun des neuf chapitres est clairement subdivisé. Chaque partie s’articule autour d’un concept-clé ou d’un théorème fondamental, en un cours très structuré : problème bien posé, exemples et démonstrations, corollaires et applications, exercices – dont certains corrigés en fin de livre –, Annexe historique. Voilà pourquoi l’APMEP a souhaité codiffuser ce livre !

Chapitre 1 : L’ENSEMBLE $\mathbb N$ (16 pages) : …, démonstration par récurrence, division euclidienne, pgcd, ppcm.

Chapitre 2 : LES NOMBRES PREMIERS (30 pages) :

• Définitions et propriétés (…, nombres jumeaux, …).
• Théorème fondamental de l’arithmétique, avec présentation de la démonstration de Gauss.
• Le « théorème d’Euclide » (infinité de l’ensemble des nombres premiers), et nombreux résultats annexes sur les nombres de la forme n ! + 1, les « repunités » (formés avec le seul chiffre 1), les 4k + 1 ou 4k + 3, le polynôme d’Euler, les nombres de Mersenne, de Fermat.
• La répartition des nombres premiers, avec comparaison des approximations de Gauss et d’Hadamard.
• Majoration du n-ième premier.

Chapitre 3 : NOMBRES PARFAITS ET NOMBRES AMIABLES (20 pages) : avec, notamment, le « théorème d’Euclide » sur la forme d’un nombre parfait : $2^k(2^{k − 1}- 1)$ où $2^{k − 1}- 1$ est premier, et le théorème de Thabit ibn Qurra sur les nombres amiables.

Chapitre 4 : L’ARITHMÉTIQUE DANS $\mathbb Z$ (14 pages) : avec, notamment, l’identité de Bézout, le « lemme de Gauss » (déjà vu au Chapitre 2), les équations diophantiennes linéaires.

Chapitre 5 : LES CONGRUENCES DANS $\mathbb Z$ (24 pages) : étude bien menée, donne de nombreux outils.

Chapitre 6 : LES THÉORÈMES CLASSIQUES (12 pages) : considéré « central » par l’auteur, ce chapitre traite des théorèmes de Fermat (le « petit »), de Lagrange, de Wilson, de Gauss, d’Euler (à partir de son « indicateur »), avec une incursion chez les nombres pseudo-premiers [définis par $a^n ≡ a$ (mod n)] débouchant sur ceux de Carmichael.

Chapitre 7 : FORMES QUADRATIQUES (22 pages) :

• Formes $x^2 + y^2, x^2 ± 2y^2$ (avec une démonstration de Guinot).
• Résidus quadratiques, avec mention finale et exemple d’application de la loi de réciprocité quadratique.

Chapitre 8 : DÉCOMPOSITION EN SOMME DE CARRÉS (40 pages) :

• Triplets de Pythagore.
• Décomposition en sommes de deux, trois (avec intervention des nombres triangulaires), ou quatre carrés (théorème de Lagrange).
• Théorème de Fermat-Wiles, démontré pour l’exposant 4, à partir d’une application, par Fermat, de sa méthode de descente infinie. C’est, de plus, fort intéressant, par l’emploi des aires…
• L’Annexe historique est, ici, particulièrement développée (12 pages).

Chapitre 9 : FACTORISATION DES ENTIERS NATURELS (34 pages) : Techniques de factorisation. Application aux nombres de Mersenne et de Fermat. Tests de primalité : de Lucas (deux), Wilson, Fermat, Poccklington, Miller-Rabin.

CHRONOLOGIE DE L’ARITHMÉTIQUE (10 pages) : L’évolution est vue à travers 64 courtes biographies. On y observe des prééminences successives des Grecs, des Arabes, d’Occidentaux, …

CORRIGÉS DES EXERCICES (15 pages, très denses) : Les exercices proposés au fil des sous-chapitres sont très nombreux et, d’après quelques tests, à la fois bien gradués et variés. Seuls quelques-uns (106) sont corrigés, en fin d’ouvrage, la plupart de façon détaillée. Leur ensemble constitue un bon panel.

L’APMEP A DÉJÀ ÉDITÉ, en 2000, UN EXCELLENT LIVRE D’ARITHMÉTIQUE, DÛ À MATHIEU SAVIN (Brochure n^o 129, prix adhérent : 6,85 €), un vrai joyau par son abord de quelques grands thèmes.

Le livre d’Abdeljaouad n’est pas du même type : il s’agit d’un exposé beaucoup plus panoramique, plus exhaustif quant au contenu mathématique, plus « scolaire », au meilleur sens du terme, avec ses subdivisions, ses salves de corollaires, d’exercices et d’exemples.

Je note la part très importante des démonstrations. L’auteur sait pourtant ne donner que des démonstrations accessibles à des bacheliers… Tout au long du livre (c’est vrai aussi pour l’ouvrage de Mathieu Savin !) se vérifie ce que l’auteur dit en son chapitre 8 : «  Les démonstrations présentées, qu’elles soient d’Euclide, de Fermat ou de Lagrange, sont belles pour elles-mêmes et devraient être connues de tout professeur de mathématiques ».

J’ajoute que tout enseignant de mathématiques de collège ou lycée, tout animateur de club de maths, peut trouver, en cet ouvrage, des mines d’exercices corrélés à l’émergence de méthodes fondamentales.