par Fabio Toscano
traduit de l’italien par Sophie Lem

Belin — Pour la science, août 2011
182 p. en 14,5 × 22,5, prix 19 €, ISBN 978-2-7011-5694-1

Les formules explicites de calcul par radicaux des racines d’une équation du troisième ou du quatrième degré ont été découvertes progressivement tout au long du XVI^e siècle par l’étude successive des différents cas de signes des coefficients, le dernier nécessitant le passage par des nombres complexes. On cite à ce propos Tartaglia, Cardan et Bombelli sans connaître toujours ce qu’il convient d’attribuer à chacun, ni l’âpreté des compétitions dans lesquelles ils se sont affrontés, ni le rôle joué par les mathématiciens qui les entouraient.

Ce livre comble donc une lacune en restant de taille raisonnable ; en voici le plan :

• 1) Le maître d’Abaque
  Niccolo Tartaglia grièvement blessé en février 1512 dans le sac de Brescia en restera bègue, d’où son surnom sous lequel il passera à la postérité. Leonardo Fibonacci, premier maître d’abaque de l’Histoire a publié en 1202 son Liber abaci, qui a fait de lui le mathématicien le plus important d’occident ; Tartaglia, maître d’abaque à son tour, se fait connaître en dialoguant avec de nombreux experts ou curieux et en lançant et remportant des défis.
  2) La règle de la chose
  Tablettes mésopotamiennes, papyrus, Diophante, Al-Khwarizmi, classification et solutions géométriques des équations cubiques.
• 3) La dispute vénitienne
  Tartaglia, professeur de mathématiques à Venise en 1534, est défié par Antonio Maria Fior, maître d’abaque réputé, qui se révèle incapable de résoudre toutes les questions posées, puis, jusqu’en 1537, par maître Zuanne de Tonini da Coi, médiocre mathématicien.
• 4) Une invitation à Milan
  Enfance et adolescence de Jérôme Cardan ; ses études à Padoue où il obtient son doctorat en médecine en 1526. Une dizaine d’années plus tard, par l’intermédiaire de maître Zuanne, il rentre en contact avec Tartaglia. Celui-ci est très réticent pour lui confier ses résultats. Finalement Cardan les obtient, sous le sceau du secret, d’où le titre du livre, sous la forme d’une poésie algébrique dont le texte figure deux fois dans l’ouvrage, la première, seul, et la seconde, accompagné de l’écriture algébrique de l’algorithme). L’analyse de ce texte et de sa traduction en écriture algébrique peut constituer une belle activité d’algorithmique au lycée.
• 5) Le carnet du vieux Bolonais
  Durant l’an 1539, échange de lettres d’abord chaleureuses puis de plus en plus agressives entre Tartaglia et Cardan sur la résolution de l’équation $x^{3}+ bx = c$, avec $b$ > 0 et $c$ > 0. Tartaglia accuse Cardan de ne pas tenir son serment.
• 6) Le dernier duel
  Cardan publie en 1545 l’Ars Magna, améliore avec son élève Ludovico Ferrari la résolution des équations du troisième et du quatrième degré mais se heurte au cas irréductible qui sera résolu par Bombelli en 1572 en introduisant des nombres complexes. En 1546, Tartaglia publie Quesiti et inventioni diverse et se déchaine contre la « bassesse morale » de Cardan ; celui-ci laisse à Ferrari le soin de répliquer. En résulte une longue suite de lettres ouvertes, d’opuscules, de cartels et de défis qui aboutissent en 1548 à un débat dont Cardan sort vainqueur.

L’auteur donne une bonne centaine de références bibliographiques, la plupart italiennes ; on s’étonne de ne pas y trouver les travaux de Christine Proust sur les tablettes Babyloniennes ni les traités chinois sur le calcul des racines (les mathématiciens chinois sont toutefois mentionnés dans la note 67 du chapitre 6 relative au triangle de Tartaglia).

Chaque chapitre comporte une soixantaine de notes reportées en fin de volume, ce qui ne facilite pas la consultation.

Cet ouvrage très complet mais sans pédantisme décrit avec précision, fraicheur et enthousiasme la naissance de l’algèbre dans l’Italie du XVI^e siècle. Il témoigne de la vitalité de l’école italienne d’histoire des mathématiques.

Je recommande sa lecture à tous les élèves et leurs enseignants qui veulent analyser en détail comment se sont dégagés les concepts et les algorithmes qu’ils manipulent dans leur cours, aux agrégatifs et capésiens qui souhaitent illustrer leurs exposés oraux de références historiques précises et à tous les curieux d’anecdotes savoureuses, violentes ou dramatiques.