par René Descombes

Éditions Nuvis, 2011
424 pages en 15 × 24, prix : 32 €, ISBN : 978-2-36367-005-2

L’auteur appelle « carré naturel » un tableau carré n x n contenant, dans l’ordre, les entiers de 1 à $n^2$. L’essentiel de l’ouvrage repose sur les permutations de ces nombres, avec des digressions et extensions ; les carrés magiques y ont une place privilégiée. Il comprend :

• Préface de Jean-François Phelizon.
• Avant-propos.
• I. Présentation et propriétés du carré naturel.
• II. Jeux et problèmes du carré naturel.
• III. Construction des carrés magiques avec le carré naturel.
• Classement des Jeux et Problèmes.
• Classement des méthodes de construction des carrés magiques.
• Bibliographie.

L’ouvrage est illustré en noir et en couleurs : œuvres de Hannes Bürgel, de l’auteur, photographies, portraits de savants, …

Chacune des parties I, II, III est un vaste catalogue :

• I, un catalogue de propriétés, sans démonstration, constatées sur des exemples et généralisées ;
• II, un catalogue de plus de cent casse-tête, petits problèmes et autres jeux à un, deux ou plusieurs joueurs, avec de multiples variantes, des exemples de parties, des recherches de stratégies ; plusieurs utilisent les polyminos ; nombre d’entre eux n’ont qu’un rapport lointain avec le carré naturel : il s’agit de jeux de pions sur un tableau carré : dames, morpion, … ; d’autres s’y réfèrent plus étroitement : Sudoku, Taquin, … ;
• III, un catalogue de méthodes de construction de carrés magiques, avec, pour certaines, dénombrement des solutions obtenues.

Dans les trois parties, on trouve de nombreuses références bibliographiques et historiques ; les plus anciens des jeux ou méthodes présentés remontent à 4000 ans, les plus récents à moins de 5 ans. Parmi les sources, on remarque Tangente, l’Ouvert, les problème du « Monde », …

Le lecteur habitué à la rigueur mathématique sera frustré par l’absence de démonstrations, et irrité par un nombre important de coquilles, parfois gênantes (= au lieu de +), erreurs (confusion de $ -n^2$ avec $(-n)^2$, …), énormes tableaux rébarbatifs, mais surtout par un langage imprécis, voire incorrect (« permutation » employé au sens restrictif de transposition de deux termes ; « inversion » pour symétrie, « facteur » pour terme, …) ; on ne sait pas toujours si les entiers considérés sont relatifs ou naturels ; des termes nouveaux sont introduits sans définition (« diagonale brisée », « carré hétéromagique », …) ; des questions d’unicité ou d’exhaustivité sont allègrement escamotées…

L’auteur, ingénieur retraité, semble n’avoir qu’un souvenir fort vague de ses années de « prépa ».

Cependant son texte est potentiellement riche sur le plan pédagogique : d’une part la variété des jeux, qui tous demandent réflexion, logique et concentration, ne peut que satisfaire les adeptes d’une pédagogie ludique ; certains ont un contenu mathématique, plus ou moins caché (pratique des quatre opérations, arithmétique, dénombrement, et même décomposition de permutations en transpositions). D’autre part la recherche de démonstrations des propriétés présentées ici peut constituer une source d’exercices et problèmes de tous niveaux, du collège aux classes préparatoires.