par Keith Devlin
traduit par Céline Laroche

Éditions Le Pommier (poche, diffusion Belin), août 2007
328 pages en 10,5 × 18, prix : 9,50 €, ISBN 978-2-7465-0343-4

Le Clay Mathematics Institute (CMI) a été créé à Cambridge (Massachusetts) en 1999 par un riche investisseur américain passionné de mathématiques, Landon Clay, dans le but de promouvoir et soutenir la recherche en mathématiques qu’il considérait trop peu soutenues par les finances publiques.

En août 1900, Paris avait accueilli le deuxième congrès international des mathématiciens et David Hilbert avait dans sa conférence établi un programme pour les mathématiciens du XX^e siècle dressant une liste des vingt-trois problèmes non résolus qui lui paraissaient les plus importants.

Quelques-uns se sont révélés plus faciles à résoudre que prévu, d’autres trop peu précis pour avoir une réponse bien définie, mais la plupart, réellement difficiles, ont été résolus.

L’année 2000 ayant été proclamée « Année mondiale des mathématiques », le comité scientifique du CMI a décidé de confier à un petit groupe de grands mathématiciens dont Michael Atiyah, Alain Connes, John Tate, Sir Andrew Wiles et Edward Witten, le choix de sept problèmes non résolus parmi les plus importants des mathématiques contemporaines et de doter leur résolution d’ un prix d’un million de dollars.

Cette liste que nous donnons ci-dessous et dont l’ordre a été choisi pour évoquer un arbre de Noël était proclamée solennellement le 24 mai 2000 au collège de France en présence de la presse internationale :

• Le problème P = NP
• La conjecture de Hodge
• La conjecture de Poincaré
• L’ hypothèse de Riemann
• La théorie de Yang-Mills et la hiérarchie de masse
• Les équations de Navier-Stokes
  existence et régularité des solutions
• La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

L’édition anglaise de ce livre, The Millenium Problem : The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of our Time (Basic Books New-York) remonte à 2002, la traduction à 2005, ce qui explique qu’elle ne soit pas à jour en ce qui concerne la conjecture de Poincaré dont la résolution par le russe Grigori Perelman (simplement évoquée sous forme dubitative p. 271) lui valut en 2006 et le prix Clay et la médaille Fields qu’il refusa d’ailleurs tous les deux.

Pour lire cet ouvrage, nous dit l’auteur, il ne faut guère plus de bagages qu’une bonne connaissance des mathématiques enseignées au lycée… Il faut également être suffisamment motivé par le désir d’en savoir plus en ce domaine et c’est peut-être là le plus important.

En fait il ne s’enferme pas dans la description de chaque problème mais l’accompagne d’appendices ancrés sur les connaissances d’un lycéen : ainsi le premier chapitre sur l’Hypothèse de Riemann s’intitule- t-il La musique des nombres premiers et ses trois appendices : Comment Euclide a démontré l’existence d’une infinité de nombres premiers ; comment les mathématiciens travaillent-ils avec des sommes infinies ; comment Euler a découvert la fonction zêta et le deuxième sur la théorie de Yang-Miles de nombreuses références historiques empruntées à la physique (relativité et théories quantiques) et un long appendice : La théorie des groupes : les mathématiques de la symétrie. Le chapitre 5 Les mathématiques des déformations continues présente la topologie (géométrie de la feuille de caoutchouc) et le 6 les courbes elliptiques et le dénombrement de leurs points rationnels.

Les sept chapitres étant très largement indépendants peuvent se lire dans un ordre arbitraire ; la préoccupation constante de relier le passé au présent et de montrer combien la recherche a aujourd’hui de voies à explorer rend sa lecture profitable à un nombreux public soucieux de connaître les motivations des mathématiciens.