Bulletin Vert n°485
novembre — décembre 2011

Les Métamorphoses du calcul Une étonnante histoire de mathématiques

par Gilles Dowek

Le Pommier, mars 2007
224 p. en 13,5 × 20, 22 €, ISBN : 978-2-7465-0324-3

 

À l’heure où sont envisagées de profondes modifications des programmes du lycée, cet ouvrage propose une vision plus équilibrée qui remet en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, amène à repenser le dialogue avec les sciences de la nature et à s’interroger sur les liens avec l’informatique. Une fois franchies les limites que la technologie du passé imposait à la taille des démonstrations, les mathématiques partent à la conquête d’espaces jusqu’alors inaccessibles.

Cet ouvrage apporte donc beaucoup à la philosophie et c’est pourquoi l’Académie française lui a décerné son grand prix de philosophie.

Après une introduction : Les mathématiques à la conquête de nouveaux espaces, l’ouvrage comporte trois parties :

I Une origine ancienne :

  • 1. De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques
    comptables et arpenteurs, irruption de l’infini, philosophes et mathématiciens.
  • 2. Deux mille ans de calcul
    algorithme d’Euclide, théorème de Thalès, les discours et les actes, l’écriture positionnelle, le calcul intégral.

II L’âge classique

  • 3. La logique des prédicats
    jugements synthétiques a priori, notions de nombre, de concept et de proposition, logique de Frege, prédicats et ensembles, axiomes.
  • 4. Du problème de la décision au théorème de Church
    nouveaux algorithmes, élimination de l’infini, problème de l’arrêt.
  • 5. La thèse de Church
    forme physique, mathématisabilité de la nature.
  • 6. Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul.
  • 7. La constructivité
    le constructivisme, la résolution de la crise.
  • 8. Les démonstrations constructives et les algorithmes
    élimination des coupures, fonctions et algorithmes, démonstrations constructives comme algorithmes.

III. La crise de la méthode axiomatique

  • 9. La théorie intuitionniste des types
    égalité par définition et jugements analytiques, démonstrations courtes à écrire longues à vérifier.
  • 10. La démonstration automatique
    fantasme des machines intelligentes, « résolution » et paramodulation, transformer les axiomes d’égalité en règles de calcul, théorie des types de Church.
  • 11. La vérification des démonstrations
    Automath, calculable mais après coup, correction des programmes.
  • 12. Des nouvelles du terrain
    quatre couleurs, calcul formel, comprendre pourquoi, taille des démonstrations et théorème de Church, nouveaux espaces.
  • 13. Les instruments
    résultats expérimentaux en mathématiques, construire les instruments, l’ordinateur et le millionnaire.
  • 14. En finir avec les axiomes ?

Et s’achève par une conclusion, dix pages de repères bibliographiques dans l’ordre chronologique, une bibliographie détaillée chapitre par chapitre et un index.

Sous un volume réduit et dans un style très lisible, l’ouvrage aborde les questions essentielles et leurs réponse actuelles concernant les rapports entre logique, informatique et mathématiques tout en ouvrant des pistes pour leur avenir. Sa lecture intéressera donc tous ceux qui se préoccupent de la place de ces disciplines dans la formation d’un futur adulte du XXIe siècle, tous les candidats à un professorat de mathématiques ou de philosophie, mais aussi les élèves soucieux de maîtriser le monde dans lequel ils se préparent à vivre.

 

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