par Gilles Dowek

Le Pommier, mars 2007
224 p. en 13,5 × 20, 22 €, ISBN : 978-2-7465-0324-3

À l’heure où sont envisagées de profondes modifications des programmes du lycée, cet ouvrage propose une vision plus équilibrée qui remet en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, amène à repenser le dialogue avec les sciences de la nature et à s’interroger sur les liens avec l’informatique. Une fois franchies les limites que la technologie du passé imposait à la taille des démonstrations, les mathématiques partent à la conquête d’espaces jusqu’alors inaccessibles.

Cet ouvrage apporte donc beaucoup à la philosophie et c’est pourquoi l’Académie française lui a décerné son grand prix de philosophie.

Après une introduction : Les mathématiques à la conquête de nouveaux espaces, l’ouvrage comporte trois parties :

I Une origine ancienne :

• 1. De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques
  comptables et arpenteurs, irruption de l’infini, philosophes et mathématiciens.
• 2. Deux mille ans de calcul
  algorithme d’Euclide, théorème de Thalès, les discours et les actes, l’écriture positionnelle, le calcul intégral.

II L’âge classique

• 3. La logique des prédicats
  jugements synthétiques a priori, notions de nombre, de concept et de proposition, logique de Frege, prédicats et ensembles, axiomes.
• 4. Du problème de la décision au théorème de Church
  nouveaux algorithmes, élimination de l’infini, problème de l’arrêt.
• 5. La thèse de Church
  forme physique, mathématisabilité de la nature.
• 6. Une tentative de donner sa place au calcul en mathématiques : le lambda-calcul.
• 7. La constructivité
  le constructivisme, la résolution de la crise.
• 8. Les démonstrations constructives et les algorithmes
  élimination des coupures, fonctions et algorithmes, démonstrations constructives comme algorithmes.

III. La crise de la méthode axiomatique

• 9. La théorie intuitionniste des types
  égalité par définition et jugements analytiques, démonstrations courtes à écrire longues à vérifier.
• 10. La démonstration automatique
  fantasme des machines intelligentes, « résolution » et paramodulation, transformer les axiomes d’égalité en règles de calcul, théorie des types de Church.
• 11. La vérification des démonstrations
  Automath, calculable mais après coup, correction des programmes.
• 12. Des nouvelles du terrain
  quatre couleurs, calcul formel, comprendre pourquoi, taille des démonstrations et théorème de Church, nouveaux espaces.
• 13. Les instruments
  résultats expérimentaux en mathématiques, construire les instruments, l’ordinateur et le millionnaire.
• 14. En finir avec les axiomes ?

Et s’achève par une conclusion, dix pages de repères bibliographiques dans l’ordre chronologique, une bibliographie détaillée chapitre par chapitre et un index.

Sous un volume réduit et dans un style très lisible, l’ouvrage aborde les questions essentielles et leurs réponse actuelles concernant les rapports entre logique, informatique et mathématiques tout en ouvrant des pistes pour leur avenir. Sa lecture intéressera donc tous ceux qui se préoccupent de la place de ces disciplines dans la formation d’un futur adulte du XXI^e siècle, tous les candidats à un professorat de mathématiques ou de philosophie, mais aussi les élèves soucieux de maîtriser le monde dans lequel ils se préparent à vivre.