508
Les problèmes du BV 508 Et solutions des 498-1, 498-3, 499-2, 500-1
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 508-1
On considère une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ qui envoie tout segment de $\mathbb R$ sur un segment
de même longueur. Trouver f.
voir l’article où est publiée une solution
Problème 508-2 (Isao Sauzzede, élève en MP à Clermont-Ferrand)
Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des applications réelles continues sur [0,1]. On définit
une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour $f \in E$,
$$ \tau (f) = \left| f- \int_{0}^{1} f(t)dt \right |. $$
Pour $n \in mathbb N$, on note $\tau^n$ la fonction $\tau$ itérée n fois $\tau \circ \tau \circ \tau \circ... \tau$ . Pour $f \in E$, étudier la
convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions $(\tau^n (f))_{n \in \mathbb N}$
Problème 508–3 (Ayoub Bourich, École Centrale de Lyon)
Trouver tous les nombres premiers p tels qu’il existe une matrice A de taille 2 $\times$ 2, à coefficients dans $\mathbb Z$ , telle que
$$A +A^2 + ... + A^p= pI_2 \ \ \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ \ \ A \ne I_2$$
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))
Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque
$$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 5476=74^2$$
Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.
Problème 498 - 3
Tout polynôme non nul a-t-il toujours un multiple qui soit polynôme en $X^{1000000}$ ?
Solution de Benoît Joly (élève de l’ENS Lyon), Raymond Heitz (Lavergne), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)
La réponse est oui.
Voici une solution très élégante, proposée par Benoît Joly
Problème 499 - 2 (Xavier Reliquet (Paris))
Tout sous-corps de $\mathbb C$ est-il stable par conjugaison ?
Solution de Xavier Reliquet (Paris), Georges Lion (Wallis) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orque)
Problème 500 - 1
Soit f : [0, 1] $\rightarrow \mathbb{R}$ continue, telle que $\int_0^1 f(t)dt=0$. Montrer qu’il existe $x \in ]0, 1[$ tel que $\int_0^x tf(t)dt=0$
<redacteur|auteur=500>
