521
Les problèmes du BV 521 et solutions des problèmes 508-2 et 509-3
Cette rubrique contient les problèmes 521-1, 521-2 (études de suites définies par récurrence), 521-3 (nombre de sommes distinctes obtenues en lançant un dé à six faces) ; ainsi que les solutions des problèmes 508-2 (convergence d’une suite d’opérateurs) et 509-3 (étude d’un ensemble de points définis par une suite).
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 521-1
On pose $p _2 = 1$ et pour $n \in \mathbb{N} - \{0, 1\}$ , $p_{n+1}=p_n \left( 1-\dfrac{p_n}{n}\right)$. Étudier la suite $\left( p_n\right) _{n\geq2}$ :
convergence ou divergence, équivalent, développement asymptotique, interprétation probabiliste, etc.
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Problème 521-2
Pour quelles valeurs de $a \in \mathbb{R}$ peut-on définir une suite en posant $u_0 = a$ et $u_{n+1}= u_n ^{3/2}-1$ ?
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Problème 521-3 (Michel Lafond, Dijon)
On note $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ le dé qui porte sur ses faces les entiers $\left( a_i \right) _{1\leq i\leq 6}$ avec
$$1 \leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 .$$
On note $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) $ le nombre de sommes distinctes que l’on peut obtenir
en lançant $n$ fois le dé $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ .
1. Montrer que, pour tout dé, $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) \leq {n+5 \choose 5}$ .
2. Pour tout entier $n ≥ 1$, démontrer que ce maximum est atteint.
3. Pour $n \in \{2, 3, 4, 5 \}$, trouver des dés $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ avec $a_6$ minimal tels
que $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) \leq {n+5 \choose 5}$ .
Voici un exemple : pour $n = 2$, le maximum ${7\choose 5} = 21$ est atteint avec le dé
[1, 2, 5, 11, 13, 18] qui, lancé deux fois, peut donner les 21 sommes
2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 31, 36
et $a_6 = 18$ est le minimum possible.
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Erratum 1 – Dans le bulletin 520, les problèmes étaient évidemment mal numérotés.
Ils devaient porter les numéros 520-1, 520-2 et 520-3. Mea culpa.
Erratum 3 – Toujours dans le bulletin 520, une erreur de signe s’est glissée lors de
la mise en page. Non mea culpa. Voici l’énoncé correct :
Problème 520 - 1 (Vincelot Ravoson, Lycée Henri IV, Paris)
Soit $a$, $b$, $c$ des réels positifs tels que $ab +bc+ac=1$. Montrer que :
$$abc \geq \dfrac{1}{12}\left( a+b - |a-b| +2c- |a+b-|a-b|-2c| \right).$$
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 508-2 (Isao Sauzzede, ENS Lyon)
Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des
applications réelles continues sur [0,1]. On définit
une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour
$f \in E$,
$$ \tau (f) = \left| f- \int_{0}^{1} f(t)dt \right |. $$
Pour $n \in \mathbb {N}$, on note $\tau^n$ la fonction $\tau$ itérée n
fois $\tau \circ \tau \circ \tau \circ... \tau$ . Pour $f \in E$, étudier la
convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions $(\tau^n (f))_{n
\in \mathbb N}$
Solution de Fernand Canonico (Clermont-Ferrand) et Pierre Renfer (Saint
Georges d’Orques
Problème 509–3 (Michel Lafond, Dijon)
Si n est un entier supérieur ou égal à 3, on pose $A=2 \sin\left (
\frac{\pi}{n} \right )$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on
définit la suite de points $(M_k(x_k,y_k))_{k \in \mathbb N}$ par
$$M_0(1,0)$$
et pour k ≥ 1 (attention aux indices),
$$x_k=x_{k-1}-Ay_{k-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_k=y_{k-1}-Ax_k.$$
Par exemple, pour n = 8, voici les 9 premiers points de la suite :
(1) Montrer que cette suite de points est périodique de période n.
(2) Montrer que tous les points de la suite sont situés sur une même
ellipse.
(3) Montrer que l’aire du polygone ($M_0M_1…M_{n-1}$) est comprise
entre $\pi - \frac{\pi^3}{6n^2}$ et $\pi$
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