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Les problèmes n° 515 Et solutions des problèmes n°506-4
Cette rubrique contient les énoncés des problèmes 515-1 (polynôme d’une ou de deux indéterminée(s)), 515-2 (étude d’une application définie par un produit de matrices), 515-3 (propriété d’entiers qui sont des paramètres d’un système d’équations à deux inconnues de degré 2) ainsi que des solutions au problème 506-4 (calcul de la somme d’une série numérique).
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 515-1 (Lazare Georges Vidiani, Fontaine Les Dijon)
Si $f(x, y)$ est un polynôme en $x$ pour tout $y$ fixé et vice versa, est-ce que $f$ est un
polynôme en $(x, y)$ ?
voir le BV où est publiée la solution
Problème 515-2
Soit $n \in \mathbb {N*}$ et $M \in \mathcal{M}_{n}
(\mathbb{R})$ . Pour $X \in \mathcal{M}_{n,1}
(\mathbb{R})$, on note $f(X) = \,^{t}
XMX$.
Préciser les valeurs prises par l’application $f$ .
voir le BV où est publiée la solution
Problème 515-3(Michel Lafond, Dijon)
Si $x, y$ sont deux entiers, on pose
$$ \left \{ \begin{array}{1} a= -x^2 +2xy+3y^2\\ b=x^2 +2xy-3y^2 \hspace{3cm}(1)\\ c=4xy=a+b\\ d=x^2+3y^2 \end{array} \right.$$
Vérifier que
$$ a^2 +b^2 +c^2 =2d^2 \hspace{3cm} (2)$$
et
$$ a^4 +b^4+c^4 = 2d^4 \hspace{3cm} (3)$$
Y-a-t-il des solutions $(a, b, c, d)$ en nombres entiers de l’équation $(3)$ qui ne vérifient
pas $(2)$ ?
voir le BV où est publiée la solution
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 506-4 (Fernand Canonico, Clermont-Ferrand)
Calculer la somme suivante :
$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n !}{1\times 3 \times 5 \times \dots \times (2n+1)}.$$
Solution
Remarque
Réponses de Michel Bataille (Rouen), Maurice Bauval (Versailles), Bernard
Collignon (Coursan), Moubinool Omarjee (Lycée Henri IV), Martin Pépin
(ULM), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).
Trois types de réponse ont été proposés : en utilisant des séries de fonctions (et
une intégration terme à terme), par les séries entières (et une équation différentielle),et enfin une solution un peu mystérieuse et eulérienne.
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