par Michael
Freund.

Ellipses, juin 2011.

164 p. en 16,5 X 24.

ISBN 978-2-7298-6548-1.

Cet ouvrage est issu d’une double expérience
pédagogique de l’auteur, spécialiste des
logiques non classiques et de leur application
aux sciences cognitives.

D’une part, un cours à l’université Paris IV,
dans le cursus de «  Langue Française et
Techniques Informatiques  » : à la différence
des apprentis mathématiciens, les étudiants
de cette licence n’avaient nul besoin d’entrer
dans les détails des fondements de la logique,
mais il est très vite apparu qu’ils avaient des
difficultés dans la pratique du raisonnement
et que le cours devait accorder une place
importante à l’interprétation des connecteurs
et des quantificateurs et au passage langage
naturel-langage symbolique.

D’autre part un volet « Inter-Âges »
accueillant des auditeurs venus de tous les
horizons et ayant rompu depuis longtemps avec la pratique des études.

Le livre contient donc de nombreux
exemples, des exercices permettant de vérifier
et d’assurer l’assimilation des notions
nouvelles, et pour chaque chapitre un résumé
dégageant les points essentiels.

Il consacre une place importante à la formalisation
du langage naturel et introduit un
« langage naturel restreint », intermédiaire
entre langage naturel et langage symbolique
 ; tout au long du texte sont proposés des
exemples du passage de l’un à l’autre.

Après une brève introduction comportant un
test de neuf items, l’ouvrage est divisé en
deux parties :

• I. Logique propositionnelle
  • 1) Le langage naturel restreint (Connecteurs
    de base, propositions du langage naturel restreint)
     ;
  • 2) Le langage propositionnel (Formules, tautologies,
    contradictions, cas des logiques
    finies) ;
  • 3) Théorèmes, preuves et démonstrations
    (Démonstrations axiomatiques, déduction
    naturelle) ;
  • 4) La relation de conséquence en calcul propositionnel
    (La notion de monde ; monde et
    relation de conséquence).
• II. Calcul des Prédicats
  • 5) Le langage prédicatif restreint (Termes
    élémentaires, fonctions et prédicats, quantificateurs)
     ;
  • 6) Le langage de la logique des prédicats
    (Formules, variables libres, liées, substitutions)
     ;
  • 7) La déduction en calcul des prédicats
    (Déduction axiomatique, naturelle en logique
    du premier ordre, validité des formules et
    modèles en logique du premier ordre, relation
    de conséquence) ;
  • 8) Théories axiomatiques (Arithmétique et
    axiomes de Peano, théorème d’incomplétude
    de Gödel).

Les solutions des 78 exercices proposés tout
au long du texte sont rassemblées à la fin qui
donne aussi un index fort utile.

L’auteur signale fort opportunément que,
pour présenter une logique simple et accessible
à tous, il a utilisé systématiquement
l’équivalence entre sémantique et démonstrations
formelles pour illustrer des résultats
qui sont en fait nécessaires pour démontrer
cette équivalence. Ceci lui permet d’introduire
directement des notions qu’il serait impossible
de faire passer autrement.

Après une entrée fracassante il y a une quarantaine
d’années, dans les programmes de la
maternelle au lycée, la logique en a rapidement
disparu ; le développement récent du
calcul des probabilités au collège et au lycée
pourrait s’accompagner d’une initiation s’appuyant
sur les premiers chapitres de ce livre
clair et agréable à lire .

Il rendra des services à tous les étudiants de
mathématiques, mais aussi en histoire et géographie,
droit, science du langage, en particulier
à tous les futurs professeurs tant du
premier que du second degré.
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