par Jean BAUDET.
Collection « Aventure philosophique ».
Éd. L’Harmattan.
Brochure de 180 pages en 13,5 × 17,5.
Présentation correcte, mais austère.
N^o ISBN : 2-7475-8059-8.
Prix : 16 €.

• À la croisée des mathématiques, de leur histoire, de leur philosophie, ce livre veut s’adresser à quiconque, loin des technicités des spécialistes, « est capable de penser par lui-même ». Et « point n’est besoin de déjà savoir pour lire ce livre ». Ces paris sont, je crois, gagnés.

• Cela posé en une très brève « INTRODUCTION », viennent dix exposés où le premier précisera que les « références et explications de détail » qui pourraient accompagner les incursions dans « l’histoire » se trouveront dans le « Nouvel abrégé d’histoire des mathématiques » du même auteur, paru chez Vuibert en 2002 (et co-diffusé par l’APMEP sous le numéro 921) :

1. Un projet d’évaluation (5 pages), où la mathématique est d’abord perçue à travers « un ensemble de textes » et où l’auteur déclare que chercher la vérité implique qu’on ne l’a pas encore atteinte…
2. Le commencement (28 pages), avec, notamment, Thalès de Milet et Pythagore. Où l’on voit s’interroger sur les rapports entre nombres et figures et naître la démonstration…, cependant que Pythagore réfléchissait à l’harmonie en musique…
3. La mise en ordre (7 pages), d’Euclide à Diophante, en insistant sur celui-ci et ses deux techniques de calcul : la transposition et la réduction.
4. Figures, nombres, algèbre (14 pages), où l’on admire Bombelli acceptant $ \sqrt{- 4}$ , « nombre sophistiqué », et l’irruption de la géométrie analytique avec Descartes. Surgissent alors des questions-clés qui, par delà « l’idée somme toute naïve (empirique) de grandeur, veulent aller jusqu’à l’entier ou jusqu’au point ? ».
5. Un résumé de l’histoire de la philosophie (16 pages) … où l’on retrouve la recherche de la vérité avec « la fondation du rationalisme », « deux approches de l’infini » : Pythagore (pour le carré et sa diagonale, le fractionnement), Platon, Aristote, la Renaissance (avec l’idée arithmétique de l’infini par les séries, et son idée géométrique par les quadratures), et le critère de vérité « de nature psychologique » « finalement retenu » par Descartes.
6. Le zéro et l’infini (9 pages) : Wallis, Grandi, Newton, Leibniz, …
7. La crise (14 pages), à propos des différentielles, des parallèles, « des fondements », des paradoxes ensemblistes.
8. Mais c’est quoi, un nombre ? (39 pages). Beaucoup de grands intervenants qui méritent tous qu’on les écoute. Ainsi Kronecker demandant, en 1887, que « tout objet mathématique soit défini en un nombre fini d’étapes  ». Cependant qu’on s’interroge avec Piaget, et même Sartre, Husserl et Blondel, … pour conclure que :
   • la mathématique est ce que l’on peut dire des objets réels quant à leur forme (au sens général de « ce qui accompagne la matière dans tout objet »).
   • « la mathématique, la physique et la technique » seraient ainsi « l’ultime et triple et unique réalité des hommes : compter, décrire, agir ».
9. Les philosophes américains (25 pages) : Pléiade de portraits à partir du principe des ordinateurs, de Kleene et Turing, faisant place au constructivisme « à côté du formalisme toujours dominant et du réalisme en train d’émerger », avec une question finale iconoclaste : « Le temps ne serait-il pas venu pour évaluer le discours mathématicien, d’appliquer la technique à la mathématique ? », question inscrite dans une possible « fin des certitudes »…
10. Qu’est-ce qu’un objet ? (8 pages) qui se conclut par : « La mathématique – la pensée mathématique – existe et n’est vraie que parce qu’il y a des objets mathématiques ». « Objets réels ou mentaux ?, métaphoriques ? » […] « Le problème n’est pas de savoir ce qu’il y a derrière les choses, ni même ce que sont les choses. Le problème est de savoir ce que l’homme peut dire des choses et surtout ce qu’il peut en faire » […]. De quoi, conclut l’auteur « admettre qu’il y a une certitude mathématique ».