La structure de l’ouvrage est désormais la suivante :

• Combinatoire  : 6 chapitres, 28 pages, allant des arrangements et permutations aux nombres et matrices de Stirling, à la suite de Fibonacci, pour conclure en dégageant, bien illustrés, les « principes généraux de combinatoire ».
• Arithmétique : 8 chapitres, 38 pages, avec un sort particulier aux nombres de Fermat (et au théorème de Wantzel) en relation avec des constructions de polygones réguliers (dont celui à 17 côtés) avec règle et compas.
• Algèbre  : 5 chapitres, 42 pages, en ouvrant par les nombres complexes, ce qui permet de meilleures synthèses ultérieures.
• Analyse  : 12 chapitres, 60 pages, où j’ai apprécié l’étude directe de $y ″ + a^2 y = 0$ ($ a \ne 0 $) avec ses interventions dans quatre phénomènes périodiques non amortis.
• Géométrie : 15 chapitres, 116 pages, qui investissent toute la géométrie classique des collèges et lycées, « classiques » maintenant et naguère, avec les produits scalaire, vectoriel, mixte, les divisions et faisceaux harmoniques, les faisceaux de cercles, la polarité par rapport à un cercle, Simson, Steiner, Euler, Ménélaüs et Céva, l’isogonalité, les cercles d’Apollonius, … en terminant par les polyèdres réguliers et semi-réguliers.
  De jolies études émaillent tous ces chapitres, par exemple pour les quadrilatères convexes, le tétraèdre orthocentrique. Je note aussi les pertinentes remarques sur la transformée d’une courbe par « inversion triangulaire ».
• Les transformations : 8 chapitres, 64 pages, avec des études très soignées des isométries, homothéties-translations, similitudes et inversions planes, en ouvrant sur les homographies dans le plan complexe (introduites très simplement à partir de la sphère de Riemann).
• Géométrie différentielle, cinématique : 6 chapitres, 56 pages. Courbes planes paramétrées, en coordonnées polaires, courbure, … avec un beau chapitre sur la cycloïde et, à propos des courbes gauches, un éclairage sur les hélices.
• Les coniques : 4 chapitres et 27 pages, puis une étude, chère à l’auteur, sur la puissance d’un point par rapport à une conique (1 chapitre, 7 pages), assortie d’applications, et un chapitre (8 pages), excellent, sur les sections planes de quadriques.

Cette division en huit sections, dont quatre relèvent de la géométrie, ne rend pas compte des interprétations dues à la culture de l’auteur et à la façon dont il l’a intériorisée. Ainsi n’attend-on pas la section « Coniques » pour donner, à propos de l’inversion, de séduisants éclairages sur des inverses de coniques…

Les huit sections que l’on pourrait qualifier de « COURS », mais qui, en réalité, y intègrent bien d’exercices ou problèmes « classiques », sont suivies de 24 pages d’exercices résolus. Ceux-ci sont, en réalité, de petits bijoux, tantôt élémentaires (ainsi le premier : « Dénombrement de triangles »), tantôt plus difficiles (ainsi le dernier : « Un triangle qui a deux bissectrices égales est-il isocèle ? », « et si les deux bissectrices sont extérieures ? »).
Ces exercices me semblent choisis soit pour leur côté paradigmatique sur le plan des méthodes, soit pour souligner l’intérêt de tel ou tel théorème, soit pour présenter en langage moderne telle étude historique (ainsi, pour « l’aire d’un segment de parabole »), soit, tout simplement, pour un intérêt intrinsèque du problème. Un riche panorama !

« COURS » ou « EXERCICES », tout cela est traité « à la DE BIASI » et ses étudiants savent ce que cela veut dire : une pensée très structurée, une compétence qui permet d’aller à l’essentiel et d’être le plus simple possible, des explications à la fois rigoureuses et lumineuses, toujours simultanément solides et attrayantes.
De plus, l’auteur ne dédaigne aucune méthode, sait comparer sans disqualifier, et n’hésite pas à faire appel … à des dessins (Ainsi pour, $\Sigma p^3 = (\Sigma p ) ^2 $ avec $1 ≤ p ≤ n$, $n$ et $p$ entiers). De plus, la matière classique traitée l’est en un langage « moderne » dès lors qu’il synthétise bien. Ainsi pour l’isomorphisme des groupes d’isométries d’un cube et de son dual…

Ma conclusion est déjà connue.

Pour les Capes, l’Agrégation interne, et pour la culture personnelle d’un enseignant de mathématiques, quel excellent livre, si propre à nous faire aimer les maths à travers d’heureuses quintessences de contenus et de méthodes, en un style à la fois concis, rigoureux et agréable !