par Franck Jedrzejewski

Springer juillet 2009
572 pages en 15,5 × 23,5, prix : 65 €, ISBN 978-2-287-99307-7

Partant des débuts du calcul des probabilités, ce traité présente à la fois les outils théoriques, les méthodes pratiques et les modèles qu’ont développés les probabilistes depuis la seconde moitié du XX^e siècle en particulier à la demande des physiciens ; qu’on juge de leur variété :

• 1. Hasard et contingences
  Modélisation, axiomatisation de Kolmogorov.
• 2. Variables aléatoires
  Fonction caractéristique, Vecteurs gaussiens, Espérance conditionnelle.
• 3. Martingales
  Temps d’arrêt, Décomposition, Inégalités et Convergences.
• 4. Chaines de Markov
  Transience et récurrence, Marches aléatoires, Théorie du potentiel.
• 5. Entropie et applications ergodiques
  Systèmes dynamiques, Grandes déviations, Information et entropie.
• 6. Thermodynamique statistique
  Gaz parfait, fermions et bosons, corps noir.
• 7. Phénomènes critiques
  Transitions de phase, exposants critiques, modèles d’Ising, renormalisation, verres de spin, percolation.
• 8. Simulation et algorithmes stochastiques
  Monte-Carlo, transport de particules, optimisation stochastique.
• 9. Processus aléatoires
  de Markov, ponctuels, de Poisson, de Lévy, du second ordre.
• 10. Files d’attente
  G/G/1, G/M/1, M/G/1, M/M/s.
• 11. Mouvement brownien
  Régularité des trajectoires, propriété de Markov, M.B. fractionnaire.
• 12. Intégrale stochastique
  Intégrale et formule d’Itô, Théorème de Girsanov.
• 13. Équations différentielles stochastiques
  Équation de Langevin, processus de diffusion, bruit blanc, Feynman-Kac, Focker- Planck.
• 14. Schémas numériques et stabilité
  Euler, Milstein, Heun, Runge-Kutta, Platen, exposants de Liapounov.
• 15. Équations aux dérivées partielles
  Elliptiques, paraboliques, de Korteweg-de Vries, de Burgers.
• 16. Vibrations aléatoires
  Oscillateur harmonique, analyse modale, moyennisation stochastique.
• 17. Prédiction et filtrage
  Kalman-Bucy, processus ARMA.
• 18. Calcul de Malliavin
  Chaos de Wiener, produits de Wick, dérivée de Malliavin, intégrale de Skorohod.
• 19. Probabilités quantiques
  Entropies quantiques, C*-algèbres, algèbres de Von- Neumann, Espaces de Fock, calcul stochastique quantique, équation de Caldeira- Legget.
• 20. Probabilités libres
  Liberté et indépendance, transformée de Cauchy, convolution libre, lois indéfiniment divisibles et lois stables, formule d’Itô libre.
• 21. Matrices aléatoires
  Ensembles gaussiens, fonction $\zeta$ de Riemann, comportement des valeurs propres, gaz de Coulomb, intégrales matricielles.

L’annexe A donne les résultats fondamentaux de la théorie de la mesure et de l’intégration ;

L’annexe B présente la solution détaillée de la centaine d’exercices proposés à la fin des chapitres.

La bibliographie comporte 344 titres, en anglais ou en français, qui de 1950 à nos jours ont marqué les étapes de notre discipline et de son enseignement.

Enfin un index de plus de 400 items permet de retrouver facilement une définition ou l’auteur d’un concept ou d’un théorème.

Chaque chapitre est introduit par un paragraphe qui précise sa place dans l’ouvrage et son fil directeur.

L’ouvrage est d’abord destiné aux étudiants d’un master de mathématiques qui veulent acquérir en deux ans le bagage nécessaire aujourd’hui à un chercheur ou un ingénieur, mathématicien ou physicien, en calcul des probabilités, mais aussi aux candidats à l’agrégation pour préparer l’épreuve de modélisation. La lecture approfondie de certains chapitres sera utile à des étudiants de licence.

Bien entendu il passionnera tous les collègues curieux de savoir où en est aujourd’hui une discipline qu’ils ont peut-être ignorée dans leurs études ou qui souhaitent dialoguer avec un physicien.

La clarté de l’ouvrage, la solidité de sa construction, la richesse du panorama visité apporteront au lecteur un grand plaisir ; remercions-en l’auteur.