Bulletin Vert n°486
janvier — février 2010

Modèles aléatoires et physique probabiliste

par Franck Jedrzejewski

Springer juillet 2009
572 pages en 15,5 × 23,5, prix : 65 €, ISBN 978-2-287-99307-7

 

Partant des débuts du calcul des probabilités, ce traité présente à la fois les outils théoriques, les méthodes pratiques et les modèles qu’ont développés les probabilistes depuis la seconde moitié du XXe siècle en particulier à la demande des physiciens ; qu’on juge de leur variété :

  • 1. Hasard et contingences
    Modélisation, axiomatisation de Kolmogorov.
  • 2. Variables aléatoires
    Fonction caractéristique, Vecteurs gaussiens, Espérance conditionnelle.
  • 3. Martingales
    Temps d’arrêt, Décomposition, Inégalités et Convergences.
  • 4. Chaines de Markov
    Transience et récurrence, Marches aléatoires, Théorie du potentiel.
  • 5. Entropie et applications ergodiques
    Systèmes dynamiques, Grandes déviations, Information et entropie.
  • 6. Thermodynamique statistique
    Gaz parfait, fermions et bosons, corps noir.
  • 7. Phénomènes critiques
    Transitions de phase, exposants critiques, modèles d’Ising, renormalisation, verres de spin, percolation.
  • 8. Simulation et algorithmes stochastiques
    Monte-Carlo, transport de particules, optimisation stochastique.
  • 9. Processus aléatoires
    de Markov, ponctuels, de Poisson, de Lévy, du second ordre.
  • 10. Files d’attente
    G/G/1, G/M/1, M/G/1, M/M/s.
  • 11. Mouvement brownien
    Régularité des trajectoires, propriété de Markov, M.B. fractionnaire.
  • 12. Intégrale stochastique
    Intégrale et formule d’Itô, Théorème de Girsanov.
  • 13. Équations différentielles stochastiques
    Équation de Langevin, processus de diffusion, bruit blanc, Feynman-Kac, Focker- Planck.
  • 14. Schémas numériques et stabilité
    Euler, Milstein, Heun, Runge-Kutta, Platen, exposants de Liapounov.
  • 15. Équations aux dérivées partielles
    Elliptiques, paraboliques, de Korteweg-de Vries, de Burgers.
  • 16. Vibrations aléatoires
    Oscillateur harmonique, analyse modale, moyennisation stochastique.
  • 17. Prédiction et filtrage
    Kalman-Bucy, processus ARMA.
  • 18. Calcul de Malliavin
    Chaos de Wiener, produits de Wick, dérivée de Malliavin, intégrale de Skorohod.
  • 19. Probabilités quantiques
    Entropies quantiques, C*-algèbres, algèbres de Von- Neumann, Espaces de Fock, calcul stochastique quantique, équation de Caldeira- Legget.
  • 20. Probabilités libres
    Liberté et indépendance, transformée de Cauchy, convolution libre, lois indéfiniment divisibles et lois stables, formule d’Itô libre.
  • 21. Matrices aléatoires
    Ensembles gaussiens, fonction $\zeta$ de Riemann, comportement des valeurs propres, gaz de Coulomb, intégrales matricielles.

L’annexe A donne les résultats fondamentaux de la théorie de la mesure et de l’intégration ;

L’annexe B présente la solution détaillée de la centaine d’exercices proposés à la fin des chapitres.

La bibliographie comporte 344 titres, en anglais ou en français, qui de 1950 à nos jours ont marqué les étapes de notre discipline et de son enseignement.

Enfin un index de plus de 400 items permet de retrouver facilement une définition ou l’auteur d’un concept ou d’un théorème.

Chaque chapitre est introduit par un paragraphe qui précise sa place dans l’ouvrage et son fil directeur.

L’ouvrage est d’abord destiné aux étudiants d’un master de mathématiques qui veulent acquérir en deux ans le bagage nécessaire aujourd’hui à un chercheur ou un ingénieur, mathématicien ou physicien, en calcul des probabilités, mais aussi aux candidats à l’agrégation pour préparer l’épreuve de modélisation. La lecture approfondie de certains chapitres sera utile à des étudiants de licence.

Bien entendu il passionnera tous les collègues curieux de savoir où en est aujourd’hui une discipline qu’ils ont peut-être ignorée dans leurs études ou qui souhaitent dialoguer avec un physicien.

La clarté de l’ouvrage, la solidité de sa construction, la richesse du panorama visité apporteront au lecteur un grand plaisir ; remercions-en l’auteur.

 

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