Bulletin Vert n°497
janvier — février 2012

Nombres complexes polynômes et fractions rationnelles

par Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan

Cépaduès, août 2011
144 p. en 14,5 × 20,5, prix : 17 €, ISBN 978 2 85428 975 6

 

Vingtième volume de la collection Bien débuter en mathématiques que nous recensons régulièrement depuis plusieurs années, celui-ci s’adresse aux étudiants de première année de l’université ou des classes préparatoires et fait une large place aux exercices et à leur solution détaillée.

Suivant son titre, il comporte deux gros chapitres et un troisième beaucoup plus réduit sur la décomposition en éléments simples pour laquelle il existe maintenant des logiciels de calcul formel.

  • I. Nombres complexes
    Définitions
    Conjugué
    Module
    Racines carrées et équation du second degré
    Argument
    Notation exponentielle
    Racines n-ièmes
    Représentation géométrique
    39 exercices
  • II. Polynômes
    Définitions et propriétés générales
    Retour à la notation habituelle
    Fonctions polynomiales
    Divisibilité, division euclidienne
    Ppcm, pgcd, algorithme d’Euclide,
    Polynômes premiers entre eux
    Polynômes irréductibles
    Dérivation des polynômes
    Zéros multiples, polynômes scindés
    Relations entre coefficients et zéros
    Formule de Taylor
    Polynômes de $\mathbb{C}$[x]
    Polynômes de $\mathbb{R}$[x]
    40 exercices
  • III. Fractions rationnelles
    Définitions et propriétés générales
    Dérivation des fractions rationnelles
    Fonctions rationnelles
    Décomposition en éléments simples
    8 exercices

Un index liste les termes utilisés et cite quelques mathématiciens qui ont laissé leur nom à un théorème, une formule ou une identité.

Ceux-ci font l’objet de courtes notes biographiques dans le cours du texte. On s’étonnera de ne pas y trouver Abel, Argand, Bombeli, Cardan, Cauchy, Galois, Hermite, Hörner, Jacobi, Laguerre, Legendre, Tartaglia, Tchebychev, et bien d’autres.

Il est vrai que les polynômes orthogonaux et les transformations intégrales font l’objet d’un volume de la collection Pratiques mathématiques, mais la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle suppose la maîtrise du calcul effectif des racines du dénominateur et celui-ci n’est pas abordé.

Signalons quelques coquilles gênantes dans la solution de l’exercice 72 et l’énoncé du théorème 9.Les exercices sont de difficulté croissante et leur solution comporte souvent beaucoup de calculs où le lecteur est guidé pas à pas sans une grande marge d’initiative. Il serait intéressant d’étudier à la fois la puissance et les limites de l’utilisation d’un logiciel pour les effectuer.

Sur un sujet bien classique et abondamment exploré, cet ouvrage n’apporte pas de grandes nouveautés, mais il permettra au débutant d’acquérir les connaissances de base indispensables à ses études.

 

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