par Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan

Cépaduès, août 2011
144 p. en 14,5 × 20,5, prix : 17 €, ISBN 978 2 85428 975 6

Vingtième volume de la collection Bien débuter en mathématiques que nous recensons régulièrement depuis plusieurs années, celui-ci s’adresse aux étudiants de première année de l’université ou des classes préparatoires et fait une large place aux exercices et à leur solution détaillée.

Suivant son titre, il comporte deux gros chapitres et un troisième beaucoup plus réduit sur la décomposition en éléments simples pour laquelle il existe maintenant des logiciels de calcul formel.

• I. Nombres complexes
  Définitions
  Conjugué
  Module
  Racines carrées et équation du second degré
  Argument
  Notation exponentielle
  Racines n-ièmes
  Représentation géométrique
  39 exercices
• II. Polynômes
  Définitions et propriétés générales
  Retour à la notation habituelle
  Fonctions polynomiales
  Divisibilité, division euclidienne
  Ppcm, pgcd, algorithme d’Euclide,
  Polynômes premiers entre eux
  Polynômes irréductibles
  Dérivation des polynômes
  Zéros multiples, polynômes scindés
  Relations entre coefficients et zéros
  Formule de Taylor
  Polynômes de $\mathbb{C}$[x]
  Polynômes de $\mathbb{R}$[x]
  40 exercices
• III. Fractions rationnelles
  Définitions et propriétés générales
  Dérivation des fractions rationnelles
  Fonctions rationnelles
  Décomposition en éléments simples
  8 exercices

Un index liste les termes utilisés et cite quelques mathématiciens qui ont laissé leur nom à un théorème, une formule ou une identité.

Ceux-ci font l’objet de courtes notes biographiques dans le cours du texte. On s’étonnera de ne pas y trouver Abel, Argand, Bombeli, Cardan, Cauchy, Galois, Hermite, Hörner, Jacobi, Laguerre, Legendre, Tartaglia, Tchebychev, et bien d’autres.

Il est vrai que les polynômes orthogonaux et les transformations intégrales font l’objet d’un volume de la collection Pratiques mathématiques, mais la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle suppose la maîtrise du calcul effectif des racines du dénominateur et celui-ci n’est pas abordé.

Signalons quelques coquilles gênantes dans la solution de l’exercice 72 et l’énoncé du théorème 9.Les exercices sont de difficulté croissante et leur solution comporte souvent beaucoup de calculs où le lecteur est guidé pas à pas sans une grande marge d’initiative. Il serait intéressant d’étudier à la fois la puissance et les limites de l’utilisation d’un logiciel pour les effectuer.

Sur un sujet bien classique et abondamment exploré, cet ouvrage n’apporte pas de grandes nouveautés, mais il permettra au débutant d’acquérir les connaissances de base indispensables à ses études.