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Ovale, bel ovale
À Henri.
Le souvenir de son amitié
et de son charisme nous restera,
mais ses conseils si pertinents
nous manquent déjà.
Rien ne ressemble autant à une ellipse que les formes ovales qu’utilisent les encadreurs ou les peintres (fig. 1), mais aussi les jardiniers, les architectes, les maçons, les ferblantiers et bien d’autres corps de métier. Or dans la plupart des cas ces ovales sont construits comme raccordement de quatre arcs de cercle, symétriques deux à deux et raccordés en quatre points où ces arcs ont une tangente commune. Bien malin celui qui pourra dire à l’œil nu où se trouvent exactement ces points de raccordement sur le cadre ou l’esquisse vénitienne de la figure 1. Pour de tels ovales on parle aussi de courbe en anse de panier, surtout lorsqu’il s’agit du demi-ovale. Certes cela peut y faire penser mais est totalement incorrect : une baguette d’osier que l’on courbe pour en faire une anse ne prend pas du tout cette forme géométrique (voir pour cela les courbes splines).
L’intérêt de notre ovale, en particulier par rapport à une ellipse, est triple :
Il est facile de le tracer que ce soit dans les petites dimensions (encadreurs) ou dans les grandes dimensions (maçons, architectes, jardiniers)
Il est facile de tracer des ovales « parallèles » ce qui s’avère souvent utile tant pour l’encadreur que pour le jardinier, l’architecte ou le maçon. On peut voir que les ellipses homothétiques ou homofocales n’ont pas cette propriété. D’ailleurs la courbe « parallèle » à une ellipse n’est pas une ellipse (voir pour cela dans ce bulletin l’excellent article de Bernard PARZYSZ, [PAR]).
Sur un tout autre plan, celui de l’enseignement, l’ovale mène facilement à des activités géométriques et calculatoires pour la plupart accessibles en collège. On pourra aussi sensibiliser les élèves au jeu des différents paramètres en fonction des contraintes qui s’imposent à l’utilisateur.
Une remarque préliminaire, à propos des raccordements d’arcs de courbe
Dans une première approche un raccordement « lisse » de deux arcs de cercles est
basé sur le fait que les cercles porteurs des deux arcs sont tangents au point de
raccordement. D’une façon plus générale le raccordement « lisse » de deux arcs se fait
en imposant en ce point des demi-tangentes respectives dans le prolongement l’une
de l’autre. D’un point de vue analytique cela revient à exiger l’égalité entre la dérivée
première à gauche de l’une et la dérivée première à droite de l’autre des fonctions ayant
pour courbes représentatives les deux arcs concernés.
En réalité un bon raccordement peut être plus exigeant, « plus lisse que lisse »,
que celui obtenu entre deux arcs de courbes avec égalité de dérivées premières. En
effet, en matière de « courbure » (pour les arcs de cercle cette courbure est pilotée par
les rayons, pour des arcs de courbe plus généraux, elle l’est par le rayon de courbure,
c’est-à-dire par la dérivée seconde), il y a discontinuité de celle-ci pour deux arcs de
cercles de rayons distincts. Jamais des ingénieurs ne raccorderont ainsi deux arcs de
route ou de voie ferrée : ils imposeront au raccordement au moins une continuité de
la dérivée seconde, c’est-à-dire une continuité dans la variation du rayon de courbure
(il peut y avoir des exigences supplémentaires, destinées en particulier à modérer cette
variation elle-même). La clothoïde, aussi appelée spirale de Cornu, est une courbe
souvent utilisée pour ce type de raccordement « bien tempéré » : sa courbure est
proportionnelle à son abscisse curviligne.
Pour les raccordements d’arcs de cercle qui nous occupent ici, il est évident que
cette discontinuité de courbure est peu perceptible à l’œil si les rayons des deux cercles
sont assez voisins mais nettement plus perceptible si, au contraire, les deux rayons
sont très différents (fig. 2)
A - Construction basique de l’ovale « anse de panier »
Si nous nous plaçons dans le cadre de la géométrie traditionnelle (sur une feuille de
papier avec une règle graduée et un compas et, pourquoi pas, une équerre) la
construction la plus élémentaire est la suivante (fig. 3).
On choisit un axe de symétrie (AA′) avec AA′ = 2a. Soit O le milieu de [AA′] et (yy′)
la médiatrice de [AA′]. Sur le segment [OA] on choisit un point I et on considère le
cercle de centre I passant par A. On pose OI = u, 0 ≤ u ≤ a, et donc le rayon r du
cercle vérifie r = a − u.
Sur ce cercle on choisit un point T tel que l’angle
$\alpha = \widehat{AIT}$
soit aigu. La droite (TI)
recoupe (yy′) en un point J. On trace alors le cercle de centre J passant par T.
L’alignement T, I, J assure que ce nouveau cercle sera tangent au précédent en T ce
qui n’est possible que si r ≤ b, c’est à dire a − b ≤ u.
On remarque donc que u doit vérifier a − b ≤ u ≤ a.
On considère la réduction des arcs ainsi construits à un quadrant, puis par symétries
successives on trace l’ovale complet. (fig. 3)
On désigne par B et B′ les intersections de l’ovale avec la droite (yy′), par J′ le
symétrique de J par rapport à (AA′) (c’est donc le centre de l’autre grand cercle) (fig. 4)
et de façon analogue à ce qu’on a fait sur (AA′) on pose BB′ = 2b, OJ = v.
Le rayon R du cercle de centre J vérifie alors R = b + v où v ≥ 0.
Résumons le paramétrage utilisé ici pour notre ovale :
– la donnée de [AA′], avec sa longueur AA′ = 2a et son milieu O,
– le choix du point I sur [OA] par OI = u,
– l’angle aigu $\alpha = \widehat{AIT}$ .
Remarques.
La donnée de $\alpha = \widehat{AIT}$ peut être remplacée par la donnée du point J sur la demi-droite (Oy′) en posant OJ = v. On a alors les relations évidentes v = u tan $\alpha$ et IJ = $\frac{{u}}{\cos\alpha}$ .
Un autre regard : On peut remarquer que le losange IJI′J′ constitue une sorte de
charpente de notre ovale : il le définit au choix de r (ou R) près (fig. 4). À partir d’un
même losange on peut alors tracer des ovales parallèles (fig. 5) en jouant simplement
sur la donnée de r. Cela peut se révéler d’une grande utilité tant pour l’encadreur que
pour le jardinier et ses massifs ou encore l’architecte romain et les gradins de son
amphithéâtre (voir là encore [PAR]).
B – Un ovale en anse de panier inscrit dans un rectangle
La construction précédente, pour simple qu’elle est, n’est pas toujours opérationnelle
dans la réalité professionnelle de l’encadreur, du jardinier, du maçon ou de l’architecte.
En effet pour ces professionnels la donnée de base est souvent l’inscription d’un ovale
dans un rectangle donné dont on connaît les dimensions 2a et 2b (a > b) (fig. 6).
Par analogie avec l’ellipse inscrite dans un tel rectangle, on parlera du grand axe de
longueur 2a et du petit axe de longueur 2b de l’ovale.
Remarquons tout de suite qu’il semble qu’on peut inscrire une infinité d’ovales dans
un rectangle donné (fig. 7).
Une donnée supplémentaire est donc nécessaire pour la détermination d’un unique
ovale inscrit dans le rectangle donné. Un candidat assez naturel est le choix du point
I sur [OA] ou encore la donnée de la longueur OI = u (u < a).
Le problème se pose alors dans les termes suivants : construire un ovale de grand axe
2a et de petit axe 2b avec OI = u. On peut aborder ce problème de façon calculatoire
qui consiste à passer du triplet (a,b,u) au triplet (a,u,v) ou d’une façon géométrique
en construisant les deux cercles permettant les raccordements idoines et l’inscription
dans le rectangle.
1. Méthode calculatoire (a,b,u) → (a,u,v)
On a r = a − u et R qui doit être à la fois égal à JB et JT, c’est-à-dire vérifier
b + v = $\sqrt{{u}^{2} + {v}^{2}}$ + (a − u).
Regardons cette égalité comme une équation d’inconnue v. Elle est équivalente à :
$$(b-a)^{2} + (u+v)^{2} + 2(b-a)({u+v}) = {u^{2}+ v^{2}}~;~;et~;~; {b-a + u + v\geq 0},$$
$$ ({b-a})^{2} + 2{uv} + 2({b-a})({u+v}) = 0 ~;~; et ~;~; {u+v \geq a-b},$$
soit
$${v} = \frac{(a-b)(2u+b-a)}{2(u+b-a)}=\frac{(a-b)(2u-(a-b))}{2(u-(a-b))}~;~;et~;~;{ u+v\geq a-b}. $$
Rappelons que dès le début nous avions imposé à u et v les conditions u ≥ a − b et
v ≥ 0, ce qui implique nécessairement u + v ≥ a − b.
2. Construction géométrique.
La construction géométrique présentée ici repose sur ce qui fut un classique des classes
de Math. Élem. et de Terminale C : construire le (ou les) cercle(s) d’un faisceau de
cercles, tangent(s) à un cercle donné. Ici il s’agit du faisceau de cercles tangents en B
à la parallèle en B à la droite (OA) qui en est donc l’axe radical et du cercle donné de
centre I passant par A (fig. 8). La méthode, qu’on ne justifiera pas ici (voir par
exemple [COM]), consiste à tracer un cercle quelconque du faisceau qui coupe le cercle
donné en deux points M et N. La droite (MN) coupe l’axe radical en P d’où on peut
mener deux tangentes PT et PT′ au cercle donné. Il y aura donc deux solutions, mais
pour ce qui nous concerne seul le point T nous convient. Là encore la condition la
condition a − b ≤ u ≤ a, c’est-à-dire 0 ≤ r ≤ b, assure que le point T est bien à
l’intérieur du rectangle 2a × 2b (et ici plus précisément dans le premier quadrant).
La droite (TI) coupe (OB) en J, centre du cercle support de l’arc TB **************************** à construire.
Je ne résiste pas au plaisir de jeter un coup d’œil au second cercle solution. Il se
construit comme le premier à partir du centre J′, intersection de (IT′) avec (OB)
(fig. 9). On a alors une « contre-anse » dont on appréciera la beauté, complétant l’anse
et épurée des lignes de construction, sur la figure 10.
C – Périmètre et aire d’une anse
Périmètre.
On considère un quart d’anse (fig. 11). Soit
$\alpha = \widehat{AIT}$ , mesure exprimée en radians. Le petit
arc a alors pour longueur $\alpha$r et le grand arc $\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) R$. D’où la longueur de l’arc de ce quadrant : ${\alpha r}+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) R$ et le périmètre de l’anse complète :
$$P=4\left[{\alpha r}+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) R\right]$$
Aire.
Même démarche : dans le premier quadrant l’aire d’un quart d’anse est la somme de
l’aire A1 du rectangle de diagonale TO et des aires A2 et A3 des régions comprises entre
les arcs et les deux demi-cordes, cotés du rectangle.
$$A_{2}=\frac{r^{2} \alpha}{2}-\frac{r^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{2}$$
$$A_{3}=\frac{R^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{2}-\frac{R^{2}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$$
d’où
$$A=\frac{\pi R^{2}}{4}+\frac{{r}^{2}-R^{2}}{2}\left(\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}\right)+{r}(a-{r})\sin\alpha,$$
formule bien peu sympathique.
D – Des ovales en anses de panier un peu particuliers
En regardant à gauche et à droite j’ai trouvé trois constructions d’anses de panier
particulières et qui toutes trois se veulent pratiques, esthétiques et bonnes
approximations de l’ellipse d’axes 2a et 2b.
a) Les amphithéâtres romains
Dans son article Bernard PARZYSZ [PAR] fait l’hypothèse que pour les
amphithéâtres romains le losange de base IJI′J′ est constitué de quatre triangles
égyptiens, c’est-à-dire de triangles rectangles proportionnels au triangle (3,4,5) ce qui
semble assez bien correspondre à la réalité. La comparaison visuelle avec l’ellipse
d’axes 2a et 2b est satisfaisante, sans plus (fig. 12). Serge MEHL [MEH] signale que
la demi-anse de sommet A et de base BB′ s’appelle une voûte égyptienne.
b) Une anse d’architecte ou ovale elliptique
Il semblerait que les architectes et autres tailleurs de pierre utilisent couramment
l’anse qui vérifie u = a/3 c’est-à-dire qu’ils divisent le grand axe AA′ en trois segments
égaux. Les centres J et J′ des grands cercles étant les intersections des cercles de centre
I (resp. I′) et passant par A (resp. A′). On obtient alors la figure 13.
On remarquera sur cette figure la bonne adéquation visuelle à l’ellipse de grand axe
AA′ = 2a et de petit axe BB′ = 2 $\frac{4-\sqrt{3}}{3}{a}$ .
c) L’anse de panier du menuisier de Pierre Jullien
C’est dans de vieux papiers (1996) de Pierre Jullien que j’ai découvert cette anse
là. Il connaissait cette construction par son menuisier. On la retrouve avec la même
référence aux menuisiers sur Internet, mais aussi dans un « Cahier de l’apprenti tôlier,
ferblantier et zingueur » de 1917 [JU et FLA] que Bernard Le Feuvre nous a
communiqué.
La construction est simple et a l’avantage de partir des sommets A et B qui sont
souvent des données imposées par la réalité. On trace AB, on définit le point P du
A] coupe (OA) en I et
segment AB par PB = OA − OB = a − b. La médiatrice de [P
(OB) en J qui sont les deux centres cherchés (fig. 14). Soit K le pied de la médiatrice.
On peut maintenant tracer l’arc***************************** AT de centre I et l’arc ****************************************TB de centre J.
On constate là aussi une excellente adéquation visuelle entre cette anse de menuisier
et l’ellipse de mêmes sommets.
Reste à justifier cette construction, c’est-à-dire à démontrer que JT = JB.
Remarquons tout de suite que les triangles rectangles OJI, KAI et KJB sont tous
semblables au triangle rectangle OAB dont les cotés ont pour mesure OA = a,
OB = b et AB = c (${c}^{2} = {a}^{2} +{ b}^{2}$ ). Notons aussi que par hypothèse PB = a − b et donc
$$AP={c-a+b},~;~;~;PK=AK=\frac{{c-a+b}}{2},~;~;~;BK= a-b+\frac{{c-a+b}}{2}=\frac{{a-b+c}}{2}$$
Dans le triangle rectangle KJB on peut alors écrire :
$$BJ=\frac{ {c} }{ {b} } BK=\frac{ {c(a-b+c} )}{2{b}}. $$
Par ailleurs JT = JI + IA.
Dans le triangle rectangle KAI on a
$$IA=\frac{ {c} }{ {a} } AK=\frac{ {c(c-a+b} )}{2{a}}. $$
alors que dans le triangle rectangle OJI on a :
$$IJ=\frac{c}{a}OJ=\frac{c}{a}(BJ-{b})=\frac{c}{a}\left[\frac{ {c(a-b+c} )}{2{b}}-{b} \right] =\frac{ {c} ^{2}({a-b+c})-2{b}^{2}{c}}{2{ab}}. $$
D’où
$$JT=IJ+IA=\frac{ {c} ^{2}({a-b+c})-2{b}^{2}{c}}{2{ab}}+ \frac{ {c(c-a+b} )}{2{a}}. $$
qui se réduit d’abord à
$$JT=\frac{ {c} ^{2}({a+c})-2{bc(a+b)}}{2{ab}} $$
puis, moyennant ${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$
$$JT=\frac{ {c(a-b+c)}}{2{b}}=JB $$
Jean-Pierre Friedelmeyer a attiré mon attention sur les Cercles surosculateurs aux
sommets de l’ellipse pour comprendre les raisons de la bonne adéquation entre cette
anse et l’ellipse.
Soit une ellipse de demi-axes OA et OB, définie par les paramètres habituels ${a, b, \overline{c} }$ avec ${b\leq a}$, $\overline{c} = \sqrt{a^{2}+ b^{2}}$ (ne pas confondre ce $\overline{c}$ avec le c utilisé dans le reste de
l’article). Un résultat classique nous donne la position des centres de courbure aux sommets par les relations $OI =\frac{ \overline{c}^{2}}{a} $ et $OJ = \frac{ \overline{c}^{2}}{b} $ , et les points I et J sont faciles à construire comme intersection de la perpendiculaire à AB, avec OA et OB.
Évidemment les deux cercles ne se raccordent pas, mais ils ont respectivement un contact d’ordre 3 en A et B (fig. 15).
E – Quelques remarques en guise de conclusion
1°) Quelques auteurs citent des constructions d’anses qui au lieu d’utiliser pour une
demi-anse trois arcs de cercle en utilisent cinq (fig. 16, où n’est construit que l’arc du premier quadrant avec les données IA = OJ = JJ′ =$\frac{2}{5} OA$ ) ou sept, voire plus.
2°) Dans un récent numéro de Quadrature, François RIDEAU écrit un très intéressant article sur les anses de panier [RID]. En se servant avec adresse de l’inversion et moyennant d’acrobatiques calculs, il met en évidence quelques jolis résultats qui, pour la plupart, dépassent nettement le cadre de cet article. On y trouve aussi une intéressant bibliographie.
3°) Dans notre article nous n’avons fait qu’évoquer le problème de
l’approximation d’une ellipse par une anse de panier en nous contentant d’une
observation visuelle. Dans l’annexe qui suit, nous aborderons ce problème de façon
un peu plus calculatoire en nous appuyant en particulier sur un papier non publié de
P.-L. HENNEQUIN et B. INGRAO [PLH et BI].
Merci à Geneviève Bouvard et à Jean-Pierre Friedelmeyer pour les erreurs qu’ils
m’ont signalées et les modifications qu’ils ont suggérées. Cela a grandement amélioré
le texte définitif de cet article.
Bibliographie
[PAR] Bernard PARZYSZ : Des ellipses sans ellipses : les amphithéâtres romains,
Bulletin de l’APMEP n° 479, pages 772-780.
[RID] François RIDEAU : Anses de panier, Quadrature N° 69 (juin-septembre 2008)
pages 12-22.
[PLH et BI] Paul-Louis HENNEQUIN et Bruno INGRAO, Approximation d’une
ellipse par une anse de panier. (texte non publié)
[COM] J. COMMEAU : Géométrie (classe de Mathématiques élémentaires),
Collection Cagnac et Thiberge, Édition MASSON, 1963. (Le problème des cercles
d’un faisceau tangent à un cercle donné y est traité in extenso, mais on trouvera aussi
cela dans d’autres « classiques » de l’époque : Maillard et Millet, Lespinard et Pernet,
Lebossé-Hémery, Deltheil et Caire, …)
[MEH] Serge MEHL. De magnifiques figures avec leurs programmes de construction
sur le site www.sege.mehl.free.fr/anx/Anse57.
[JU et FLA] A. JULLY et FLAJOLLOT, Les cahiers de l’apprenti tôlier, ferblantier,
zingueur, Albin Michel, 1917 (aimablement communiqué par Bernard Le Feuvre).
Annexe
On a vu que certaines des anses décrites précédemment semblaient être, d’un point
de vue visuel, de bonnes approximations d’une ellipse de même sommets. Peut-on
étudier cela de façon plus quantitative ? La réponse est « oui », mais il n’est pas
certain que cela soit simple.
En matière d’approximation d’une courbe par une autre courbe il faut d’abord
choisir un critère qui « mesure » la qualité de l’approximation. On peut, par exemple,
essayer d’estimer l’aire comprise entre les deux courbes. Dans notre cas, compte tenu
des éléments de symétrie cela consisterait à se situer dans le premier quadrant et à
étudier l’aire de la différence symétrique des deux surfaces limitées par les segments
OA et OB et chacun des deux quarts de courbe. Cela suppose quand même de connaître
les positions respectives des deux courbes, puis de calculer, cas par cas, les aires
concernées. Les calculs, sans être infaisables, sont assez taupinesques. On pourra voir
cela dans [PLH et BI].
Une autre idée tout à fait classique en analyse numérique consiste à étudier
∆(x ) = $\left|{f (x )-g (x )}\right|$ sur [ 0 ;a ]
où f et g sont les fonctions dont les courbes représentatives sont ici un quart d’ellipse
et un quart d’anse, considérées sur l’intervalle [0 ; a]. La quantité $\sup_{ {x} \in[O ;a]}^{}$ ∆(x ) ou encore la valeur moyenne de ∆(x) sur [0 ; a] peuvent alors être de bons indicateurs de l’approximation. Au vu de la « sagesse » des deux courbes concernées, on pourrait
avoir ici une approche discrète en remplaçant l’étude de
$$\Delta(x) = \left|{f (x )-g (x )}\right|~;~;sur [ 0 ;{a} ] $$
par celle de
$$\Delta(x_n) = \left|f (x_n )-g (x_n )\right|~;~;avec~;~;x_0 = 0,x_1 =h ,\cdots,x_ n =nh =a , $$
mais force est de constater que là encore les calculs sont assez lourds.
Une troisième idée consiste à prendre des chemins de traverse. L’ellipse est aussi
définissable comme ensemble des points M tels que MF + MF′ = 2a où F et F′ sont
les deux foyers de l’ellipse. Notre idée consiste alors à situer le point M sur l’anse et
d’étudier la quantité MF + MF′ en la comparant à 2a.
Étude d’un cas numérique pour une anse de panier de menuisier et son ellipse associé.
Prenons a = 8 et b = 6 (pour les notations voir figure 14). Alors on a les données
suivantes pour l’ellipse :
Les foyers de l’ellipse sur l’axe AA′ sont définis par
$$OF = OF′ = f = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7} $$
et l’ellipse est donc définie par
Pour l’anse de menuisier : AB = c = 10, BM = 2, r = 5, R = 10, OI = 3, OJ = 4.
L’angle $\alpha = \widehat{AIT}$ est défini par tan $\alpha$=$\frac{OI}{OJ} = \frac{4}{3} $, ce qui donne ${\alpha}= 0,93rd\simeq53^{0}.$
Les coordonnées de T sont (6 ; 4).
Le paramétrage du quart d’anse est alors le suivant :
Pour $0 \leq t \leq \alpha$ (petit arc ****************AT )
$$\left\{ \begin{array}{0} x = 3+ 5 \cos{t}\\ y = 5\sin{t} \end{array} \right.$$
$$~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~; {t } = \widehat{AIT}$$
Pour $\frac{\pi}{2} \geq {t}\geq \alpha$ (grand arc **********TB )
$$\left\{ \begin{array}{0} x = 10 \sin{t}\\ y = 10\cos{t}-4 \end{array} \right.$$
$$~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~;~; {t } = \widehat{BJM}$$
Le tableau de la page suivante donne la quantité MF + MF′ et la compare à 16 pour un point M qui décrit le quart d’anse formé par les arcs AT************************* et TB ****************** .
On remarquera que la différence maximum entre MF + MF′ et 16 est de l’ordre de 0,1 d’où une erreur relative inférieur à 0,01.
(*) reiszd@aol.com
<redacteur|auteur=511>
