Notre dossier, le second sur « le calcul », propose d’abord la seconde partie du rapport « Algorithmique au lycée » de la Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques, rédigé sous la direction de Michel Merle (cf. page 177, Bulletin 445).

Dans le Bulletin 445, la première partie définissait les algorithmes, en proposait des exemples en arithmétique (algorithmes d’Euclide, développement en fraction continue, multiprécision, nombres et séries, constante de Ramanujan, …).

Cette seconde partie poursuit notamment ces belles visites de l’arithmétique, de l’analyse (méthodes d’Euler, de Newton, …). Elle nous intéresse aussi bien au pivot de Gauss, qu’aux systèmes dynamiques, à l’aiguille de Buffon, aux fluctuations et aux graphes… Chemin faisant, les problèmes généraux sont abordés : coût d’un algorithme, sa validité, …
Plus de quarante recherches, tests, générations … susceptibles, au lycée, d’un traitement algorithmique efficace sont proposés en fin d’article.

S’amusant à mettre des segments « bout à bout », François PLUVINAGE nous rappelle que, pour les Grecs, il s’agissait d’ôter… D’où, par répétitions successives sur des restes, le beau nom d’anthyphérèse ! et le beau procédé pour savoir si des grandeurs sont ou non commensurables (… en mathématiques, incommensurable n’est pas synonyme d’infini  !). De quoi fréquenter à nouveau nos vieux amis : algorithme d’Euclide, nombre d’or, fractions continues et les réduites, … Par la magie du conteur, nous voilà plus que jamais envoûtés…

Factoriser un naturel n peut se faire en cherchant, d’abord, x tel que $x^2 − n$ soit un carré…, recherche facile, même pour, par exemple, 2 027 651 281 … avec les congruences. En 1920, la machine des frères Carissan y procédait en travaillant sur 14 modules de congruences… Martine BÜHLER nous fait admirer cette prodigalité et pratiquer – c’est génial – les calculs de base utilisés…

« Le calcul c’est dépassé ! ». Sous ce titre ravageur, issu de sa stupéfaction devant des usages « anticalcul » des calculatrices, Christophe DAUDIN, sans renier pour autant ces machines, plaide éloquemment pour une nécessaire familiarité avec les nombres et les opérations : ordres de grandeur, aisance – sans calculette – dans les manipulations, calculs et recherches, imprégnations de propriétés transférables en calcul littéral, … Une saine réhabilitation d’un calcul mental sans frontières…

Mais que signifie donc le signe = , par exemple dans f (x) = g(x) ? L’article «  Égalités et équations » invite à y réfléchir et, par là-même, à mieux maîtriser les résolutions par « analyse-synthèse  » ou par « équivalences  » et à ne pas se méprendre sur l’objet de « vérifications  ». Un retour sur des notions-clés, à mettre sans doute en continuité avec le texte du GREM de la première partie du Dossier calcul (Bulletin 445, pages 197-213), texte relatif à l’introduction au calcul littéral.

Le dernier texte du dossier est le compte rendu, par Bruno ALAPLANTIVE de la conférence prononcée par Michèle ARTIGUE au Colloque Inter-Irem Premier Cycle de Lyon, en 2002.
Écouter Michèle Artigue est toujours un régal pour l’esprit. Ici elle aborde les clés d’un « savoir calculer », puis l’enjeu fondamental des rapports « calcul-raisonnement », développé sur trois exemples classiques.
Chemin faisant, Michèle Artigue signale, hors de France, des modes d’introduction de l’algèbre autres que par les équations…

Bien entendu, les calculs sont pratiquement partout dans le Bulletin. On s’en convaincra aisément avec la plupart des articles, même celui des « constructions géométriques par intersection de coniques »…

« De la Maternelle à l’Université », donnons donc à la recherche de calculs maîtrisés la place qui lui revient … !