Ce dossier, qui se poursuivra avec le numéro 441, aborde le thème de la modélisation.

La notion de modèle est utilisée depuis longtemps dans nos enseignements des mathématiques, des sciences physiques ou naturelles, de la technologie, dans les sciences de l’ingénieur : depuis le modèle du monde de Ptolémée ou de Copernic jusqu’au modèle linéaire qui donne une approximation souvent suffisante dans beaucoup de situations (interpolation linéaire de Lagrange sur un intervalle par exemple). Se sont alors installées les pratiques de considérer un modèle comme un fait et de vérifier que la réalité observée colle bien à ce modèle. L’introduction des technologie nouvelles permet de faire évoluer la situation : l’élève peut mieux prendre en charge l’élaboration d’un modèle (et découvrir les difficultés et les limites de la modélisation). Cette prise en charge, outre qu’elle permet de donner du sens au modèle, débouche sur un entraînement à l’analyse critique de sa validité.

Nous proposons à nos lecteurs un ensemble de cinq articles.

Une première contribution traite de la modélisation sous un aspect théorique et philosophique, abordant aussi l’aspect sociologique de la question de la prise de décision à partir de modélisations concurrentes. Nicolas Bouleau définit la modélisation comme un outil de représentation, d’analyse et de prospective qui devient une langue interdisciplinaire de plus en plus importante (est-il besoin d’insister sur les implications de l’aspect interdisciplinaire [1] dans nos enseignements ?). Il envisage la possibilité, dès le secondaire, d’aborder le domaine de la modélisation, sous des formes restreintes et compatibles avec le vocabulaire disponible à ce niveau ; les études supérieures permettant ensuite d’accéder à un beaucoup plus large champ d’investigation, notamment pour les élèves ingénieurs.

Bruno Decriem propose un tour d’horizon de la cartographie depuis les premières représentations du « monde connu » jusqu’à l’utilisation de techniques sophistiquées qui ont permis dès le 19^e la réalisation de cartes thématiques. Enfin, au 20^e siècle, l’apparition de l’électronique et l’exploration de l’espace ont ouvert des horizons nouveaux aux cartographes dont l’immense champ d’action est rapidement abordé. Un être vivant peut-il être modélisé à l’aide de cette branche des mathématiques que sont les probabilités ? D’après Bernard Prum, les statistiques et les probabilités ont montré leur efficacité dans les sciences de la vie, notamment en médecine et en épidémiologie. Le décryptage et l’interprétation du génome imposent la mise en œuvre d’outils mathématiques sophistiqués tels les chaînes de Markov ce qui amène l’auteur à poser la question : « Est-ce raisonnable de traiter le génome d’une bactérie – ou le génome humain – comme une suite aléatoire ? ».

Un TPE, réalisé par des élèves de terminale S à Montceau les Mines, donne un aspect plus concret d’une modélisation. Le sujet retenu amène les élèves répondre à la question : « pourquoi a-t-on besoin de l’outil fractal pour modéliser des phénomènes naturels ? ». Sur l’exemple des mesures des côtes de Bretagne et de Vendée, le dossier insiste sur la démarche suivie par les élèves.

Un sujet du baccalauréat néerlandais est ensuite proposé par Pierre Legrand. Le style est résolument très éloigné du nôtre et d’aucuns pourront n’y voir que des problèmes pseudo-concrets. Pourtant des livres de mathématiques anglo-saxons fourmillent de problèmes de ce genre : des situations issues des sciences physiques, de la biologie, de la technologie, permettent (ou tentent) de convaincre les élèves que les mathématiques sont un outil de compréhension du monde extérieur, sans toutefois perdre de vue que la complexité des situations ainsi modélisées et l’abondance des données peut brouiller le choix des techniques à mettre en œuvre. Mais la modélisation d’une situation n’est-elle pas, parmi la complexité des données, de distinguer l’essentiel de l’accessoire ?