par Claude Zuily

Cassini, collection Enseignement des mathématiques, n° 30, décembre 2010
270 p. en 15 × 22,5. prix : 18€, ISBN : 978-2-84225-149-9

Ce recueil de 106 exercices est divisé en sept chapitres présentant chacun successivement en quelques lignes le programme, puis quelques pages de rappels, les énoncés et les solutions détaillées ; quelques exercices se renvoient entre eux mais chacun d’eux guide le lecteur pas à pas sans lui ouvrir des choix ou des perspectives ouvertes.

• 1. Préliminaires
  Espaces $C^k$, formules de Leibniz et de Taylor.
• 2. Les distributions
  Exemples, ordre et support, image par une application linéaire, produit par une fonction , division par $x$.
• 3. Dérivation des distributions
  Solutions élémentaires d’opérateurs différentiels, primitive, formule de Gauss-Green, structure locale.
• 4. Convergence des suites de distributions.
• 5. Convolution des distributions.
• 6. Transformation de Fourier
  des distributions tempérées, à support compact, Théorème de Paley-Wiener-Schwartz, convolution et opérateurs différentiels.
• 7. Espaces de Sobolev et applications
  opérateurs elliptiques, hypoellipticité, spectre singulier d’une distribution.

Une courte bibliographie mentionne deux livres de Laurent Schwartz, consacrés au sujet qui lui valut la médaille Fields en 1950.

Précisons que la première édition du « Théorie des distributions » remonte à 1950- 51 ; et que, moins de trois ans plus tard, Laurent Schwartz attirait à Paris de nombreux et brillants physiciens dans un cours révolutionnaire de « Méthodes mathématiques de la physique  » où il justifiait avec rigueur des pratiques de calcul pour le moins hasardeuses, suivant la même démarche que dans cet ouvrage.

Les solutions sont claires et complètes, précédées par quelques indications pour les questions les plus difficiles signalées par un, voire deux, astérisques.

L’ouvrage recouvre largement toutes les connaissances que l’on peut acquérir dans un master 1 et il me semble indispensable qu’un candidat à l’agrégation, interne ou externe s’y exerce régulièrement.

Le titre est un peu trompeur car le livre fait une place réduite aux équations aux dérivées partielles ne mentionnant pas les travaux de Jacques-Louis Lions et de tous ses élèves et leurs nombreux domaines d’application.de la mécanique des fluides à la météorologie, de l’imagerie médicale à la nano physique.