504
Problèmes du BV 504 et solutions des 495-3, 496-1 et 497-2
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 504–1 (Moubinool Omarjee (Lycée Henri IV Paris))
On note $ \lfloor \ \ \ \rfloor$ la fonction partie entière et, pour $n \in \mathbb N$*, $p_n$ est le n-ième nombre premier. Étudier la nature de la série
$$\sum_\limits{n \ge 1} \frac{(-1)^{\lfloor n \sqrt 2 \rfloor}}{p_n}$$
Problème 504–2 (Ghali Lalami (Marrakech))
Trouver tous les $n \in \mathbb N$ tels que $3^n - 2$ soit un carré parfait.
Problème 504–3 (Franck Gautier (Pérignat Lès Sarlieves))
On désigne par D = B(0, 1) le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 du plan. Pour un chemin $ \Phi : \left\{
\begin{array}{l}
[0,1] \rightarrow D \\
t \mapsto (x(t),y(t))
\end{array}
\right.$ de classe $C^1$ , on définit l’énergie de $\Phi$ par
$$E(\Phi)= \int_0^1 \frac{x’(t)^2+y’(t)^2}{\left( 1-x(t)^2-y(t)^2 \right) ^2} dt$$
Déterminer l’ensemble des chemins reliant le centre 0 à un point $ M_0 \in D$ qui minimisent cette énergie.
Problème 504–4 (Michel Lafond (Dijon))
On définit la suite u par la condition initiale $u_0= 3$ et pour $n \in \mathbb N$, par la relation $u_{n+1}=u_n+ \sin(u_n)$. Montrer que $u_3$ est une approximation par défaut de $\pi$ à $10^{-33}$.
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 495-3 (Michel Lafond)
Un entier strictement positif n est pythagoricien si dans l’anneau $\mathbb Z /n \mathbb Z$ des entiers
modulo n, tout élément est somme de deux carrés. Quels sont les entiers pythagoriciens ?
Réponses de Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).
Problème 496-1 (Michel Lafond)
Un triangle a un périmètre p et une aire $\mathcal A$. Montrer que chaque côté du triangle mesure au plus
$$\frac{p}{6} \left( 1+2 \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( 1 - \frac{864 \mathcal A ^2}{p^4} \right) \right) \right)$$
Problème 497 - 2 (Pascale De Jonghe)
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite complexe et R un réel, R > 1. On suppose que la suite $ (Ru_{n+1}-u_n)_{n \in \mathbb N}$
converge vers $ l \in \mathbb C$ quand n tend vers $+\infty$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb N}$.
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