par Jacques Sesiano

Presses polytechniques et universitaires romandes, janvier 2014
290 p. en 16 × 24, prix : 44€, ISBN : 9782-2-88074-498-4

Proposer au lecteur d’apprendre à faire des mathématiques en résolvant des problèmes dans un cadre récréatif afin de piquer sa curiosité, de motiver sa démarche et de dynamiser sa recherche est un usage fort ancien ; c’est ainsi qu’on peut citer par exemple : les Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres de C. G. Bachet de Méziriac, édité en 1612 et maintes fois depuis, les Récréations mathématiques et physiques de J. Ozanam édité en 1694 puis abondamment réédité, les 4 volumes des Récréations mathématiques de E. Lucas à la fin du XIX^e, les onze éditions du Mathematical recreations & essays de W. Rouse Ball & H. Coxeter et enfin La Mathématique des Jeux ou Récréations Mathématiques de M. Kraitchik au milieu du siècle dernier.

Pour écrire ce recueil, l’auteur a consulté et comparé les originaux de nombreux documents. Dès l’introduction, il cite quelques énoncés remontant à l’antiquité dont certains en vers, et situe le Moyen Âge entre 800 (Alcuin, conseiller de Charlemagne pour l’éducation) et 1600 (Bachet). Il classe les problèmes d’après la situation empruntée à la vie quotidienne ou à l’organisation sociale, suivant un habillage qui structurait encore l’enseignement du calcul à l’école primaire il y a une cinquantaine d’années et qu’on retrouve aujourd’hui dans des sujets de rallyes ou de compétitions.

En voici la liste :

• I. Transvasements
  Jarres de vin, conditions de résolution, généralisation.
• II. Tonneaux
  Partages de contenus et de contenants.
• III. Poids
  Nombre minimum de poids pour des pesées entières.
• IV. Distributions et partages
  Fractionnements successifs d’un héritage.
• V. Robinets
  Remplir une citerne, vider un tonneau, construire un mur à plusieurs.
• VI. Mouvement
  Avances uniformes, en progression arithmétique, en progression géométrique, poursuites et rencontres, avance et recul.
• VII. Les grands nombres
  Multiples successifs, progressions, duplication sur l’échiquier, mesures du globe terrestre par Eratosthène et par Poseidonios, nombres parfaits.
• VIII. Disposition
  Valse des chaises, œufs comptés par les restes, partage de Joseph, cellule des nonnes.
• IX. Traversées
  Loup, chèvre et chou, … cinq couples et un bateau à trois places.
• X. Divers
  Partages avec un promeneur, lapins de Fibonacci, serviteur malhonnête, héritiers à naître, partage des 17 chameaux, heures écoulées, deux ouvriers.
• XI. Liens familiaux
  Deux hommes épousent la sœur, ou la mère, ou la fille l’un de l’autre, …, sept graphes de parenté.
• XII. Carrés magiques
  Contributions de Cardan, Valentino, Bachet, Fermat.
• XIII. Parcours du cavalier
  Solutions d’Euler.
• XIV. Les ensembles infinis
  En Grèce et au Moyen Âge.
• XV. Nombres pensés et objets cachés

Les solutions d’origine sont données dans leur langue et traduites si nécessaire. Elles se limitent souvent à la réponse à la question posée ; les démonstrations sont alors détaillées en utilisant les notations et la mise en équations d’aujourd’hui. Parfois, plusieurs solutions sont données et comparées.

Trois annexes précisent les principales sources (huit en latin, six en français, deux en italien, une en allemand et une en arabe), quelques points d’histoire des mathématiques (arithmétique, suites et séries, algèbre, symbolisme) et un glossaire de moyen français.

Le texte est agrémenté de fines vignettes empruntées aux textes originaux et qui résument avec élégance un décor ou une situation. un index classe à la fois un grand nombre de mots-clés et une centaine d’auteurs et de manuscrits.

L’ouvrage s’achève par une bibliographie dont on s’étonne qu’elle ne cite ni le livre de Kraitchik comportant pourtant, il est vrai dans un ordre différent, les mêmes items, ni les publications d’Ahmed Djebbar, beaucoup plus complètes sur les mathématiciens arabes et leur apport à la naissance de l’algèbre.

Ce livre, très bien présenté, richement documenté, très clair et agréable à lire, intéressera le professeur de collège à la recherche d’exercices intrigants ou d’activités interdisciplinaires avec des historiens ou des littéraires et tous ceux qui trouvent du plaisir à résoudre des exercices quelque peu farfelus venus de la nuit des temps.