par F. Dal’Bo, F. Paulin, G. Courtois, comité éditorial : N. Berline, A. Plagne, C. Sabbah

Éditions de l’École Polytechnique, déc. 2007, diffusion Ellipses
147 p. en 17 × 24, ISBN : 978-2-7302-1418-6

Depuis une dizaine d’années, l’Union des Professeurs de Spéciales et l’École Polytechnique organisent des journées de mathématiques destinées aux professeurs de classe préparatoires pour leur permettre à la fois de mieux connaître l’actualité de la recherche et pour renouveler leurs exercices et leurs problèmes.

Explorant les liens entre nombres et géométries à partir d’objets dynamiques, le livre traite en détail l’exemple de la résolution par G. Margoulis d’une conjecture sur les valeurs prises par des polynômes.

Une introduction présente les motivations historiques et l’articulation des trois textes qui peuvent être lus indépendamment.

Dans le premier : Points de vue sur les valeurs aux entiers des formes quadratiques binaires, Françoise Dal’Bo traite successivement du développement en fractions continues, des petites valeurs de formes quadratiques binaires, des actions de $SL_2(\mathbb Z)$, des trajectoires du sous-groupe diagonal de $SL_2(\mathbb Z)$ sur $SL_2(\mathbb R)/ SL_2(\mathbb Z)$. Puis elle passe en revue les trajectoires non bornées, compactes, fermées non bornées, denses, bornées non fermées.

Dans le second : De la géométrie et de la dynamique de $SL_n(\mathbb R)$ et $SL_n(\mathbb Z)$, Frédéric Paulin développe les groupes topologiques linéaires, leurs actions continues, la topologie de $SL_2(\mathbb R)/ SL_2(\mathbb Z)$, ses voisinages de bouts et une première propriété dynamique des flots unipotents.

Dans le troisième : Sur les valeurs aux entiers des formes quadratiques réelles, Gilles Courtois part du théorème de Margoulis, étudie les orbites et flots dans $SL_3(\mathbb R)/ SL_3(\mathbb Z)$, l’action sur les formes quadratiques de $\mathbb R^3$, les adhérences d’orbites et achève la preuve de la conjecture d’Oppenheim.

Chaque exposé comporte des références qui sont aussi rassemblées avec un index en fin de volume. Les textes sont agrémentés de figures parlantes et claires et restent accessibles à qui possède bien les connaissances de la licence sur les formes quadratiques, les groupes linéaires et la topologie.

Ce volume rendra service aux agrégatifs à la fois pour préparer leur épreuve écrite d’algèbre et pour illustrer leurs leçons d‘oral.