Expérimentation informatique
On considère l’hyperbole équilatère $H$ d’équation $y=\frac{1}{x}$, la rotation $r$ de centre $O$, d’angle $-\dfrac{\pi}{4}$ et la transformation du plan complexe privé de l’origine : $z\mapsto z’=\dfrac{1}{\bar{z}}$.
Les justifications de votre travail peuvent être apportées par tous les moyens à votre disposition…

Commentaire : ce TP a été fait en trois temps avec une TS de 32 élèves de niveau « normal ».

- classe entière 1 heure : explications sur le fonctionnement d’Excel, compléments mathématiques ;

- 1/2 groupe salle info 1 heure : manipulation d’Excel, tracé de courbes ;

- 1/2 groupe salle info 1 heure : réalisation du TP.

Hyperboles
a. Tracer $H$ dans la fenêtre .
b. Tracer la courbe $H’=f(H)$. Montrer que si $M’(x’, y’)$ est un point de $H’$ alors où est une constante à déterminer.
c. On pose pour tout $t$ réel tel que $\cos t$ ne soit pas nul, . Quelle est la valeur de la constante $k$ ?

Commentaire : le premier groupe a fait cette partie avec quelques difficultés. Tous ont utilisé Excel.

Lemniscate
Soit la courbe , ensemble des points $M(x, y)$ du plan tels que , .
a. Par quelle transformation simple passe-t-on de $H$ à $H’$ ?
b. Soit $N$ d’affixe d’image par $f$ : $N’$ d’affixe . Vérifier que .
c. Tracer l’image par $f$ de . On note $L$ cette courbe qui est donc l’image de $H$ par une succession de transformations.
d. Soit $T$ une tangente à $H$ en un point quelconque. L’image de $T$ par les transformations précédentes devient-elle une tangente à $L$ ?
e. Soit $ABC$ un triangle constitué de trois points non alignés de , $A’B’C’$ son triangle image sur $L$. Comparer les angles de ces deux triangles. Constatation ?
f. De même comparer les longueurs des côtés des deux triangles. Constatation ?

Commentaire : j’ai donné au deuxième groupe le fichier Excel avec la première partie et ils ont travaillé sur celle-ci. Globalement on s’aperçoit qu’il faut une formation beaucoup plus en amont… Les difficultés rencontrées étant essentiellement techniques.

Aires
a. On veut calculer l’aire comprise entre $H$, l’axe $(OX)$ les droites $x=1$ et $x=5$. À l’aide de ce que vous avez fait en 1. que suggérez-vous sans calculer d’intégrale.
b. Même question pour la longueur de la portion de $H$ comprise entre $x=1$ et $x=5$.
c. Pouvez-vous donner une valeur approchée de la longueur totale de $L$ ?

Commentaire : sera fait en classe ultérieurement.