par Olivier Bordellès

Éditions Ellipses

240 pages en 17 x 24, dont une bibliographie finale de cinq pages (d’ouvrages fondamentaux, puis d’ouvrages référés aux Chapitres 3, 4, 5) trop copieuse pour être utilisable, et 4 pages d’Index.

Bonne présentation, ISBN : 2-7298-2714-5

L’avant-propos (2 pages) situe bien l’organisation du livre. Cinq pages explicitent les notations utilisées, par exemple, [$x$] pour la partie entière d’un réel $x$, et $x$ pour la partie fractionnaire… Le tout est très clair, avec, si besoin est, des exemples.

Suivent six chapitres exposés en 165 pages :

• CHAPITRE 1 (13 p.). « Outils de base » : Division euclidienne, … ; les coefficients binomiaux ; parties entière et fractionnaire avec sept propriétés (démontrées) ; Rolle, accroissements finis, différences divisées (sera utile au Chapitre 5) ; sommation partielle (avec une formule « qui n’est rien d’autre que l’intégration par parties dans le formalisme de l’intégrale de Stieltjes ») ; série harmonique (et la constante d’Euler $\gamma$, introduite pour la première fois par Euler en 1734, avec le symbole C).

• CHAPITRE 2 « BEZOUT et GAUSS »
  24 pages dont trois d’énoncés de 10 exercices
  • 2.1. pgcd, ppcm, nombres premiers entre eux.
    Nombreuses remarques, propriétés et corollaires, … Je note la « proposition 2.9 (Lamé) » : « Soient 1 ≤ b ≤ a deux entiers. Le nombre de divisions nécessaires pour calculer le pgcd de $a$ et $b$ dans l’algorithme d’Euclide est inférieur ou égal à $\left[\frac{\ln b}{\ln\phi}\right]+1$, où $\phi$ est le nombre d’or ». Cependant qu’un « exemple 2.10 » rappelle l’utilisation de cet algorithme d’Euclide pour trouver deux entiers $u$ et $v$ tels que, avec $d$ = pgcd($a$,$b$), $d$ = $au$ + $bv$.
  • 2.2. Les théorèmes de Bachet-Bezout (sans é !) et Gauss.
  • 2.3. Équations diophantiennes ax + by = c.
  • 2.4. Congruences
    avec pas mal de théorèmes, de jolis exercices traités (ainsi pour 13 | 2⁷⁰ + 3⁷⁰), et le « théorème chinois » (doté d’une démonstration « constructive », c’est-à-dire qui construit une solution, puis montre son unicité).

Suit un savoir-plus de 6 pages sur l’anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$, « les dénumérants », les séries génératrices.

• CHAPITRE 3 « Les nombres premiers »
  47 pages dont cinq d’énoncés de 22 « exercices », parmi lesquels de belles études des « Entiers de Gauss », du « Symbole de Legendre », et de « l’algorithme de Serret » (qui prouve que si $p$ est premier et congru à 1 modulo 4, il est somme de deux carrés). Notons que les premiers exercices proposés sont simples. Ainsi, Exercice 4 : si $p$ ≠ 3 est premier, alors $p^2 + p$ est composé ; Exercice 6 (facile avec le « Petit théorème de Fermat ») : chercher tous les nombres premiers $p$ qui divisent $2^p + 1$. Quant aux autres, ils sont détaillés.
• 3.1. Le théorème fondamental de l’arithmétique.
• 3.2. Infinitude des nombres premiers,
  avec les preuves d’Euclide, Euler, Erdös.
• 3.3. Fermat, Lagrange, Wilson. Ordre d’un entier modulo p.
• 3.4. Le premier théorème de Mertens
  « Pour tout réel $x$ ≥ 2, on a $\sum_{p\leq x}\frac{\ln(p)}{p}=\ln(x)+O(1)$ (avec la notation de Landau) ».
• 3.5. Fonction $\pi$ et inégalités de Tchebychev.
• 3.6. Nombres premiers en progressions arithmétiques.

Suit un savoir-plus, de neuf pages, sur les polynômes d’Euler, le « théorème des nombres premiers », le postulat de Bertrand (« Pour tout entier n ≥ 1, l’intervalle $]n,2n]$ contient au moins un nombre premier »), des idées de Dirichlet, le théorème de Piatetski-Shapiro.

• CHAPITRE 4. Fonctions arithmétiques (applications de $\mathbb{N}^*$ dans $\mathbb{C}$)
  44 pages dont 8 pour 18 énoncés d’exercices.

• CHAPITRE 5. « Points entiers proches d’une courbe plane »
  33 pages dont 4 pour 8 énoncés d’exercices.
  L’avant-propos déclare que ce texte, « inédit dans la littérature classique », « fournit une petite introduction » à des problèmes modernes essentiels.
  Sachant qu’un entier $n$ ≥ 2 est dit $k$-libre si, pour tout nombre premier $p$, on a $p|n \Rightarrow p^k \not|\ n$, il s’agit d’étudier des problèmes de « sauts » entre des entiers 2-libres…
  Ce qui conduit à estimer le nombre de « points entiers » (i.e. à coordonnées entières) proches de la courbe d’une fonction (définie) très régulière. Chemin faisant on dérive avec des ordres de plus en plus grands et on généralise en des « différences divisées » le théorème des accroissements finis. Le « savoir-plus », qui consacre 7 pages sur 9 à la « méthode de Filaseta et Trifonov » (ce sont les champions), ouvre ensuite sur des « entiers 2-pleins » … et des fonctions « monomiales ».

Autant dire que le paysage est superbe et que, si je m’y aventure guère, j’espère que d’autres le feront…

Les Solutions des 85 exercices, détaillées, occupent 66 pages.

Elles sont suivies des deux remarquables pages d’une « ANNEXE A : guide du raisonnement arithmétique » qui rappelle d’intéressantes propriétés, puis des deux pages d’une « ANNEXE B : estimations explicites utiles ».

Ma conclusion : Vous aurez pu noter, chemin faisant, l’élévation progressive du niveau, à partir, comme le dit l’avant propos, « d’outils enseignés en TS spécialité maths et/ou en première année de Prépa ou de licence de maths »

L’ouvrage s’adresse donc à des publics très variés. Je souligne qu’il allie concision, abondance d’énoncés et de preuves, lisibilité. Ce n’est pas un mince exploit.