par Jean-Pierre Escofier

Dunod, 2014
608 pages en 17 × 24, prix : 31,35 €, ISBN : 978-2-10-058917-3

Cet ouvrage, après un Avant-propos, est
composé de seize chapitres :

1. Prérequis à ne pas oublier.
2. Des fonctions entre ensembles.
3. Les nombres réels.
4. Nombres complexes.
5. Suites numériques.
6. Fonctions de variable réelle continues.
7. Fonctions dérivables.
8. Suites récurrentes.
9. Logarithme et exponentielle.
10. L’intégrale de Riemann.
11. Primitives et intégrales.
12. Formules de Taylor et applications.
13. Équations différentielles du premier ordre.
14. Courbes en coordonnées paramétriques ou polaires.
15. Séries numériques.
16. Séries entières.

Il est complété par une Bibliographie et un Index.

Chaque chapitre est suivi d’une ou deux dizaines d’exercices corrigés, à l’exception des chapitres 2 et 10, qui n’en contiennent respectivement qu’un seul et zéro.

Le point fort de ce manuel, qui constitue aussi son originalité, est la place faite à l’histoire des mathématiques. Chaque chapitre en contient des éléments, parfois avec des facsimilés de textes originaux, souvent jusque dans les exercices et leurs corrigés ; chaque mathématicien cité est situé dans son époque.

Cet aspect culturel est complété par la présentation de problèmes encore ouverts : conjectures de Syracuse, de Riemann, … une autre qualité est le souci pédagogique, la clarté des explications, commentaires, corrigés (cependant les calculs ne sont pas toujours détaillés). Le ton est tout autre que celui des manuels de CPGE : l’auteur montre qu’il a l’habitude d’étudiants bacheliers S « tout venant », non sélectionnés ; ce qui ne l’empêche pas d’inclure des énoncés présentant une difficulté certaine. Un bon équilibre est trouvé entre entraînement aux savoir-faire standardisés et questions plus ou moins « ouvertes », demandant une certaine prise d’initiative. Comme dans la plupart des manuels, un bon nombre d’exercices incluent des démonstrations de résultats classiques. une place privilégiée est accordée aux problèmes de majoration d’erreurs.

Au plan des imperfections, je noterai : l’absence d’exercices au chapitre 10 (on aurait pu au moins étudier un exemple de fonction non intégrable) ; la confusion récurrente entre fonction et courbe (« la fonction a un point d’inflexion », …) ; quelques petites erreurs, comme » les affixes de z et z’ » au lieu de « les points d’affixes z et z’ » (page 65) ; un certain nombre de coquilles, dont deux ou trois qui peuvent perturber le lecteur (page 419, dernières lignes, c’est t, et non x, qui tend vers l’infini) ; une contradiction, page 286 : « l’intégrale de Lebesgue, enseignée dans les cours d’analyse de la licence, mais qui sort du cadre de ce livre » (le titre de celui-ci est-il donc abusif ?) ; l’absence d’intervention des logiciels. L’apport historique, disséminé, serait plus fort encore s’il était résumé dans un tableau chronologique.

Ces défauts sont minimes ; cet ouvrage est un excellent outil pour acquérir non seulement les savoirs et savoir-faire requis pour l’obtention d’une licence, mais aussi des éléments d’une culture historico-mathématique, utile pour ordonner et dominer son savoir.

Comme indiqué par l’auteur, il sera également à conseiller aux candidats au CAPES, voire à l’agrégation, ainsi qu’aux enseignants soucieux de revoir leurs connaissances sous un éclairage historique. À noter qu’il existe « Toute l’algèbre de la licence  », du même auteur, chez le même éditeur, 2011.