Bulletin Vert n°509
mai — juin 2014
Trois livres d’algèbre
pour les classes préparatoires
algorithmique, informatique et probabilités
Bien que largement indépendants les uns des autres, ces trois ouvrages constituent un prolongement et un développement du livre du même auteur Arithmétique modulaire et cryptologie, paru fin 2010 et dont j’ai rendu compte dans la rubrique Matériaux pour une documentation du n° 494.
Les quatre ouvrages sont issus de TIPE effectués ces dernières années par des élèves de Mathématiques Spéciales afin de mettre en évidence l’utilité et la force d’outils algébriques pour résoudre les problèmes de transmission sans erreur et de confidentialité d’informations de plus en plus volumineuses et indispensables au fonctionnement de notre société.
L’ensemble est d’une grande richesse et présente avec beaucoup de clarté des outils très récents. En ce qui concerne la forme, l’exposé fait se succéder définitions, lemmes, propositions et théorèmes ; l’absence d’exercices est compensée par des incitations du type : « tout ceci se vérifie aisément … ce n’est pas difficile mais c’est un peu laborieux, c’est la raison pour laquelle ce travail est laissé aux soins du lecteur ».
On aurait aimé que quelques problèmes ouverts laissent plus d’initiative au lecteur. On s’étonnera de l’absence de toute bibliographie ; cependant, tout au long du texte, sont données des références à des sites sur la toile ; par contre, aucune référence historique et quelques fâcheuses coquilles.
Cours d’algèbre et d’algorithmique
Applications à la cryptologie du RSA et du logarithme discret
par Pierre Meunier
Cépaduès, novembre 2012
338 p. en 14,5 × 20, prix : 26 €, ISBN 978 2 36493 014 8
Ce volume consacre 75 pages à un cours d’algèbre, 66 aux algorithmes de factorisation et de primalité et à leur complexité, 75 aux deux cryptosystèmes à clé publique, RSA et El-Gamal, une centaine aux courbes elliptiques.
Algèbre et informatique
Applications aux codes linéaires correcteurs d’erreurs
par Pierre Meunier
Cépaduès, mai 2013
240 p. en 14,5 × 20,5, prix : 22 €, ISBN 978 2 36493 059 9
Après un rappel d’algèbre de 14 pages, le chapitre 1 décrit en 42 p. deux algorithmes de factorisation polynomiale. Les chapitres suivants sont relatifs aux codes correcteurs d’erreurs (Introduction, 40 p. ; codes linéaires correcteurs d’erreurs cycliques, 45 p. ; codes de Goppa, 42 p. ; décodage des codes linéaires, 34 p. ; applications à la cryptographie, 10 p.).
Algèbre et Probabilités
Mathématiques spéciales MP-MP*-PSI*— CAPES — Agrégation
par Pierre Meunier
Cépaduès, décembre 2013
422 p. en 14,5 × 20,5, prix : 29 €, ISBN 978 2 36493 084 1
Les 230 premières pages constituent un cours d’algèbre (Groupes, anneaux, corps ; algèbre et arithmétique modulaire ; polynômes ; algèbre linéaire ; algèbre bilinéaire) ; Les 66 suivantes prennent en compte les nouveaux programmes en vigueur à partir de cette année et concernent les probabilités discrètes : l’exposé est très complet (par exemple utilisation des inégalités de Chernov pour démontrer la loi forte des grands nombres), mais on regrette que ne soient pas introduites quelques situations concrètes classiques et leur modélisation.
La transformée de Fourier discrète fait l’objet du chapitre suivant (48 p.) et le dernier (56 p.) reprend en les résumant les applications de l’algèbre à la crypto-mathématique et aux codes linéaires développées dans les deux volumes précédents
En conclusion, trois ouvrages d’actualité, solides, riches et denses, permettant de comprendre à la fois la puissance et les limites de tous les systèmes qui sont censés assurer, vérifier et contrôler la bonne circulation et la fiabilité de toutes les informations engendrées par notre économie.
Ils intéresseront non seulement les élèves et les professeurs des classes préparatoires mais aussi les étudiants de licence et de maîtrise, les agrégatifs et candidats au Capes et tous ceux qui souhaitent enrichir leur culture scientifique.
