par Daniel Lehmann.

Collection « Mathématiques 2^e cycle – Cours et exercices – » des Éditions Ellipses.

Ouvrage de 107 pages, plus 8 pages d’avant-propos, Sommaire, une bonne bibliographie de 17 titres et un index de 92 entrées.

Présentation claire, mais dense.

N°ISBN : 2-7298-1529-5.

En dépit de son titre modeste (« Introduction … »), cet ouvrage est beaucoup plus vaste que le précédent.

Le plan d’étude est différent (et les moyens utilisés aussi, moins « algèbre linéaire »), avec un premier chapitre « De l’étude des projections (cylindriques et coniques) à la géométrie projective » qui introduit rapidement le birapport, insiste sur des divisions harmoniques remarquables et ne traite qu’en sa phase finale les « espaces projectifs abstraits » avec, en appendice, des rappels ou redéfinitions d’objets usuels (…, application affine, …, espace euclidien, …, angles).

On retrouve, dans ce chapitre, de grands « classiques » (théorème « de l’arc capable » et cocyclicité de quatre points, sections planes des cônes et cylindres de révolution, théorème de Dandelin, correspondances cercle-coniques par projections, théorème de Desargues, points à l’infini d’une courbe algébrique, …) avec des traitements eux aussi « classiques » (conduits de façon fort intéressante !)…

Les 31 pages de cours de ce chapitre (un vrai « livre » à elles seules tant elles sont denses) s’ouvrent sur 12 exercices avec, là aussi, des classiques (« billard projectif », Menelaüs et Céva, homologies, définitions bifocales des coniques à centre, …), exercices souvent copieux, parfois avec des « coups de pouce », …

Le chapitre II « Droites projectives et homographies » s’ouvre sur des rappels de projection stéréographique et de topologie, sur l’introduction des homographies à partir de $x \rightarrow \frac{ ax+b}{cx+d}$ (avec le cas particulier $c = 0$)…

Viennent alors la formule de Laguerre, les théorèmes de Pappus et Pascal, la génération homographique des coniques, une classification algébrique des courbes du second degré, …

Après 20 pages de cours (parfois avec des démonstrations reportées en exercices) viennent 17 exercices, de vraies études (où l’on retrouve des classiques de géométrie élémentaire, mais aussi une généralisation du théorème de Pascal, le point de Frégier, …).

Le chapitre III « Sphère de Riemann et groupe circulaire  » développe, en 20 pages de cours, une géométrie où la réunion d’une droite et d’un point à l’infini est un « cercle ».

On y retrouve les faisceaux de cercles, l’inversion, la projection stéréographique, …

Suivent 15 « exercices » généralement copieux (avec des classiques : axe et centre radical, …).

Le chapitre IV « Structures additionnelles sur un espace projectif » ajoute des points imaginaires à un espace projectif réel, reprend les structures angulaires, rencontre les droites isotropes, revient à la dualité, aux théorèmes de Pappus, Pascal, Brianchon, aux transformations par polaires réciproques.

Vingt-trois pages de cours suivies de 5 exercices (dont un théorème de Poncelet faisant intervenir une transformation par polaires réciproques, un « billard projectif dual », …).

Un livre de grande culture quant aux contenus, mais qui met tout autant l’accent sur les méthodes.

Sous le prétexte d’une « Introduction » à la géométrie projective, ce qui est en principe vrai, un beau traité de géométrie, extrêmement ouvert, et un bel hommage, passionnant, à ce secteur des mathématiques.